I asked you to please recall a time when you really loved something, a movie, an album,

あなたが本当に大好きだった物を思い出してほしいんです。映画でも、アルバムでも、

a song, or a book, and you recommended it wholeheartedly to someone you also really

曲や本を、心から気に入ってる相手に

liked.

本気でおすすめしたことがあると思います。

And you anticipated that reaction, you waited for it, and it came back, and the person hated

その反応を期待して待っていたら、

it.

返ってきたのは「嫌い」という言葉。

So by way of introduction, that is the exact same state in which I spend every working

自己紹介代わりに言うと、それがまさに

day of the last six years.

この6年間、毎日味わってきた感覚です。

I teach high school math.

私は高校数学を教えています。

I sell a product to a market that doesn't want it, but is forced by law to buy it.

欲しくない製品を市場に売っているんです。ただ法律で買うことを強制されているんですけど。

I mean, it's just a losing proposition.

つまり、これは負け戦なんですよ。

So there's a useful stereotype about students that I see, a useful stereotype about you all.

それで、学生についてのある有用なステレオタイプを見かけるんです。あなたたち全員についてのステレオタイプですね。

I could give you guys an Algebra 2 final exam, and I'd expect no higher than a 25% pass rate.

あなたたちに代数2の期末試験を出したら、合格率は25%以上にはならないと予想します。

And both of these facts say less about you or my students than they do about what we

でもこの二つの話は、あなたや生徒自身よりも、

call math education in the US today.

今のアメリカの数学教育について物語っています。

To start with, I'd like to break math down into two categories.

まず最初に、数学を2つのカテゴリーに分けたいと思います。

One is computation.

1つは計算です。

This is the stuff you've forgotten.

これがあなたが忘れた内容です。

For example, factoring quadratics with leading coefficient greater than one.

例えば、最高次の係数が1より大きい二次式の因数分解とか。

This stuff is also really easy to relearn, provided that you have a really strong grounding

数学的な推論の土台さえしっかりしていれば、

in reasoning, math reasoning.

内容自体は簡単に学び直せるんです。

We'll call it the application of math processes to the world around us.

もう1つを、数学的プロセスを周囲の世界に応用することと呼びましょう。

This is hard to teach.

これは教えるのが難しいんです。

This is what we would love students to retain, even if they don't go into mathematical fields.

これは、学生に数学の分野に進まなくても覚えておいてほしい内容です。

This is also something that the way we teach it in the US all of it ensures they won't

でも今のアメリカの教え方は、

retain it.

その内容が定着しないように作られています。

So I'd like to talk about why that is, why it's such a calamity for society, what we can

なぜそうなるのか、なぜ社会にとって深刻な問題なのか、

do about it, and to close with why this is an amazing time to be a math teacher.

何ができるか、そして今が数学教師に最高の時代である理由まで話します。

So first, five symptoms that you're doing math reasoning wrong in your classroom.

では最初に、あなたの教室で数学的推論を間違った方法で進めている5つの兆候を挙げます。

One is a lack of initiative.

1つ目は主体性の欠如です。

Your students don't self-start.

あなたの学生は自分から始めようとしません。

You finish your lecture block, and immediately you have five hands going up, asking you to

講義を終えた瞬間、5人の手が挙がって、

re-explain the entire thing at their desks.

自分の席でもう一度説明してと頼まれます。

Students lack perseverance.

学生には忍耐力が足りません。

They lack retention.

保持力も足りません。

You find yourself re-explaining concepts three months later, wholesale.

3ヶ月後、概念を丸ごと説明し直しているあなたを発見することになります。

There's an aversion to word problems, which describes 99% of my students, and then the

生徒の99%は文章題に拒否反応を示し、

other 1% are eagerly looking for the formula to apply in that situation.

残りの1%はその場で使える公式を必死に探します。

This is really destructive.

これは本当に破壊的なんです。

David Milt, a creator of Deadwood and other amazing TV shows, has a really good description

『デッドウッド』などを手がけた脚本家デビッド・ミルチが、

for this.

この状況をうまく言い表しています。

He swore off creating a contemporary drama, shows set in the present day, because he saw

彼は現代劇、つまり現在を舞台にした番組の制作をやめたのです。その理由は、彼が気づいたからです

that when people fill their mind with four hours a day of, for example, two and a half

たとえば1日4時間、『Two and a Half Men』のような

men, no disrespect, it shapes the neural pathways he said in such a way that they expect simple

シットコムに浸っていると——他意はありませんが——

problems.

脳の回路が単純な問題を期待するように形作られると彼は言います。

He called it an impatience with irresolution.

彼はそれを『未解決への不耐性』と呼びました

You're impatient with things that don't resolve quickly.

すぐに解決しないものに対して、あなたは我慢できなくなるのです

You expect sitcom-sized problems that wrap up in 22 minutes, three commercial breaks,

22分、CM3回、笑い声入りで解決する

and a laugh track.

シットコム規模の問題を期待してしまうんです。

And I'll put it to all of you, what you already know, that no problem worth solving is that

でも皆さんも分かっているはずです。解く価値のある問題は

simple.

そんなに単純ではありません。

I am very concerned about this because I'm going to retire in a world that my students

私はこれをとても懸念しています。私が引退する頃、

will run.

世界を動かしているのは私の生徒たちだからです。

I'm doing bad things to my own future and well-being when I teach this way.

私は、このような方法で教えることで、自分自身の将来と幸福を害しているのです

I'm here to tell you that the way our textbooks, particularly mass-adopted textbooks, teach

教科書、特に大量採用されている教科書が

math reasoning and patient problem-solving, it's functionally equivalent to turning on

数学的推論や粘り強い問題解決を教えるやり方は、

two and a half men and calling it a day.

実質的に『Two and a Half Men』をつけて済ませているのと同じです。

In all seriousness, here's an example from a physics textbook.

冗談抜きで、物理の教科書の例をご紹介しましょう

It applies equally to math.

これは数学にも同様に当てはまります

Notice first of all here that you have exactly three pieces of information there, each of

まず気づいてほしいのは、情報がちょうど3つしかなく、

which will figure into a formula somewhere eventually, which the student will then compute.

そのすべてがいずれ公式に当てはめられ、生徒はただ計算するだけということです。

I believe in real life.

私は現実の生活を信じています

And ask yourselves, what problem have you solved ever that was worth solving where you

自問してみてください。解く価値のあった問題で、

knew all of the given information in advance, where you didn't have a surplus of information

必要な情報を最初から全部知っていて、

and you had to filter it out, or you didn't have insufficient information and had

余分な情報をふるいにかける必要もなく、

to go find some.

逆に情報が足りずに自分で探しに行く必要もなかった——そんな経験がありますか。

I'm sure we all agree that no problem worth solving is like that.

解く価値のある問題で、そのようなものはないことに、私たちは皆同意していると確信しています

And the textbook, I think, knows how it's hamstringing students, because watch this.

そして教科書は、生徒たちを制限していることを知っていると思います。見てください

This is the practice problem set.

これは練習問題です

When it comes time to the actual problem set, you have problems like this right here

実際の問題集になると、出てくるのはこういう問題ばかりで、

where we're just swapping out numbers and tweaking the context a little bit.

数字を入れ替えて設定を少し変えているだけです。

And if the student still doesn't recognize the stamp this is molded from, it helpfully

それでも生徒が元になった型に気づかなければ、

explains to you what sample problem you can return to to find a formula.

親切にも「この例題に戻れば公式が見つかる」と教えてくれます。

You could literally, I mean this, pass this particular unit without knowing any physics,

本気で言いますが、物理をまったく理解していなくても、

just knowing how to decode a textbook.

教科書の読み解き方さえ知っていればこの単元は突破できてしまいます。

That's a shame.

それは残念です

So I can diagnose the problem a little more specifically in math.

では、数学でもっと具体的に問題を診断できます

Here's a really cool problem.

本当に素晴らしい問題があります

I like this.

私はこれが好きです

It's about defining steepness and slope using a ski lift.

スキーリフトを使って急勾配と傾きを定義することについてです

But what you have here is actually four separate layers.

しかし、ここにあるものは実は4つの別々の層です

And I'm curious which of you can see the four separate layers and particularly

皆さんのうち、この4つの独立したレイヤーが見えている人がいるか気になります。特に

how when they're compressed together and presented to the student all at once,

それらが圧縮され、学生に一度に提示されるとき、

how that creates this impatient problem solving.

どのようにこれが性急な問題解決を生み出すのかです。

I'll define them here.

ここでそれらを定義しましょう。

You have the visual, okay?

まず視覚的な要素があります。

You also have the mathematical structure, talking about grids, measurements,

そして数学的な構造があります。グリッド、測定値、

labels, points, axes, that sort of thing.

ラベル、点、軸など、そうした要素です。

You have sub-steps, which all lead to what we really want to talk about.

そして部分的なステップがあります。これらは全て、本当に話したいことにつながります。

Which section is the steepest?

どのセクションが最も急か？

So I hope you can see.

だからこれが分かってくれるといいんです。

I really hope you can see how what we're doing here is taking a compelling question,

本当に見てほしいのは、ここでやっていることが、説得力のある質問をとり上げて、

a compelling answer, but we're paving a smooth, straight path from one to the other

説得力のある答えまで、滑らかでまっすぐな道を舗装しているということです。

and congratulating our students for how well they can step over the small cracks

その道の小さな亀裂をどれだけうまく踏み越えられるか、それで生徒を褒めているんです。

in the way.

それだけなんです。

That's all we're doing here.

ここでやっていることはそれだけです。

So I want to put to you that if we can separate these in a different way and build

だから言いたいのは、もしこれらを別の方法で分離して、

them up with students, we can have everything we're looking for in terms

生徒と一緒に積み上げていけば、私たちが求めているものすべてが得られます。

of patient problem solving.

それは忍耐強い問題解決という点でです。

So right here, I start with the visual and I immediately ask the question,

そこでここでは、まず視覚的な要素から始めて、すぐに質問をします。

which section is the steepest?

どのセクションが最も急か？

And this starts conversation because the visual is created in such a way

これが会話を始めるんです。というのは、視覚的なものがそのように作られていて

where you can defend two answers.

2つの答えを正当化できるからです。

So we get people arguing against each other, friend versus friend,

だから人々が互いに議論し、友人対友人で、

impairs, journaling, whatever.

ペア活動したり、ジャーナルに書いたり、いろいろやるんです。

And then eventually we realize it's getting annoying to talk about the skier

そしてやがて、スキーヤーについて話すのが面倒になります。

in the lower left-hand side of the screen or the skier just above the midline.

画面の左下のスキーヤーとか、中線のすぐ上のスキーヤーのことです。

And we realize how great would it be if we just had some A, B, C, and D labels

そしてA、B、C、Dなどのラベルがあったら、どんなに良いだろうと気づきます。

to talk about them more easily.

もっと簡単に話すためにです。

And then as we start to define what does steepness mean,

そして「急さ」が何を意味するのかを定義し始めると、

we realize it'd be nice to have some measurements to really narrow it down

何か測定値があると、本当に絞り込めて良さそうだと気づきます。

specifically what that means.

それが正確に何を意味するのかです。

And then and only then we throw down that mathematical structure.

そしてその時だけ、数学的な構造を持ち出します。

The math serves the conversation.

数学は会話に奉仕するんです。

The conversation doesn't serve the math.

会話が数学に奉仕するのではなく。

And at that point, I'll put it to you that 9 out of 10 classes are good

そしてその段階では、10のクラスのうち9つは大丈夫だと言えます。

to go on the whole slope steepness thing.

斜面の急さについて全体的に進める準備ができています。

But if you need to, your students can then develop those sub-steps together.

でも必要なら、生徒たちはそうした部分的なステップを一緒に開発できます。

Do you guys see how this right here compared to that,

ここでこれと、あれを比べるとどうか分かりますか？

which one creates that patient problem solving, that math reasoning?

どちらが忍耐強い問題解決、数学的推論を生み出すか？

It's been obvious in my practice to me.

それは私の実践から明らかです。

And I'll yield the floor here for a second to Einstein

ここで一瞬、Einsteinに話を譲りたいと思います

who I believe is paid his dues.

彼は十分な評価を受けた人物ですから

He talked about the formulation of problem being so incredibly important.

彼は問題を立てることがいかに重要かについて語りました

And yet in my practice in the U.S. here, we just give problems to students.

しかし私はここアメリカでの実践で、生徒に問題を単に与えてしまっています

We don't involve them in the formulation of the problem.

問題を立てるプロセスには関わらせていません

So 90% of what I do with my five hours of prep time per week

ですから週5時間の準備時間のうち、90%を費やしているのは

is to take fairly compelling elements of problems like this from my textbook

教科書からこのような問題の魅力的な要素を取り出して

and rebuild them in a way that supports math reasoning

数学的な思考を促すような形に再構成することです

and patient problem solving.

そして忍耐強い問題解決を

And here's how it works.

その方法をお見せします

I like this question.

この問題が気に入っています

It's about a water tank.

貯水タンクについての問題です

The question is how long will it take you to fill it up, OK?

問いは『それを満杯にするのにどのくらいかかるか』です

First things first, we eliminate all the sub-steps.

まず最初に、すべての細かなステップを削除します

Students have to develop those.

生徒がそれらを作り出さなくてはいけません

They have to formulate those.

生徒がそれらを立案しなくてはいけません

And then notice that all the information written on there

そして、そこに書かれているすべての情報は

is stuff you'll need.

必要な情報だけだということに気づきます

None of it's a distractor, so we lose that.

余計な情報はないので、そうしたものは削除します

Students need to decide, all right, well, does the height matter?

生徒は判断しなくてはいけません『高さは関係あるのか？』と

Does the side length matter?

辺の長さは関係あるのか？

Does the color of the valve matter?

弁の色は関係あるのか？

What matters here is such an underrepresented question in math curriculum.

『何が重要か』という問い自体が、数学カリキュラムで見落とされている問いです

So now we have a water tank.

では、今度は貯水タンクを用意します

How long will it take you to fill it up?

それを満杯にするのにどのくらいかかるか？

And that's it.

それだけです

And because this is the 21st century,

そして、これは21世紀だから

and we would love to talk about the real world on its own terms,

現実の世界をそのままの形で語りたいのです

not in terms of line art or clip art that you so often see in textbooks,

教科書によくある線画やクリップアートではなく

we go out and we take a picture of it.

実物の写真を撮ってきます

So now we have the real deal.

では、本当の実物があります

How long will it take it to fill it up?

それを満杯にするのにどのくらいかかるか？

And then even better is we take a video, a video of someone filling it up.

さらに良いのは、誰かがそれを満杯にしている動画を撮ることです

And it's filling up slowly, agonizingly slowly.

そしてそれはゆっくり、苦しいほどゆっくり満杯になっていきます

It's tedious.

退屈です

Students are looking at their watches, rolling their eyes,

生徒は時計を見て、目を転がします

and they're all wondering at some point or another,

そしてみんながいつかは思うのです

man, how long is it going to take to fill up?

『ああ、あとどのくらいで満杯になるんだろう』って

That's how you know you've baited the hook, right?

それが、うまく興味を引き出せたサインです

And that question off this right here is really fun for me.

そして、ここから生まれる問いは本当に楽しいのです

Because like the intro, I teach kids

冒頭でも触れた通り、経験が浅い私は

because of my inexperience,

生徒を教えているわけですが、

I teach the kids that are the most remedial, all right?

その中でも一番苦手意識の強い子たちを担当しています。

And I got kids who will not join a conversation about math

数学の話し合いに参加しようとしない生徒がいます。

because there's like someone else has the formula,

「どうせ誰かが公式を知っている」

someone else knows how to work the formula better than me.

「自分より公式を使いこなせる子がいる」と思って、

So I won't talk about it.

だから話さない、というわけです。

But here, every student is on the level playing field of intuition.

でもここでは、全員が直感という同じ土俵に立っています。

Like everyone's filled something up with water before.

誰だって何かに水を入れたことがあるからです。

So I get kids answering the question, how long will it take?

だから「どれくらい時間がかかる?」という問いに答える生徒が出てきます。

I got kids who are mathematically and conversationally intimidated

数学にも会話にも苦手意識のある生徒たちが、

joining the conversation.

会話に加わってくるようになります。

We put names on the board, attach them to guesses,

黒板に名前を書き、それぞれの予想を紐づけると、

and kids have bought in here.

生徒たちはすっかりのめり込みます。

And then we follow the process I've described.

そのあとは、先ほど説明したプロセスを進めていきます。

And the best part here, or one of the better parts,

ここで一番良い点の一つは、

is that we don't get our answer from the answer key

答えを教師用指導書の巻末にある

in the back of a teacher's edition.

解答から得るわけではないということです。

We instead just watch the end of the movie.

代わりに、私たちはただ動画の続きを見るだけなんです。

And that's terrifying, all right?

そしてそれが、実は結構怖いことなんです。

Because the theoretical models that always work out

指導書の巻末にある解答では

in the answer key in the back of a teacher's edition,

理論モデルは必ずぴったり合います。

like that's great.

それはそれで結構なことです。

But it's scary to talk about sources of error

でも理論と現実が一致しないとき、

when the theoretical does not match up with the practical.

誤差の原因について話すのは怖いものです。

But those conversations have been so valuable,

それでも、そうした対話はとても価値があって、

among the most valuable.

むしろ最も価値のあるものの一つでした。

So I'm here to report some really fun gains

ここで、とても嬉しい成果を報告させてください。

with students who come pre-installed with these viruses

初日からすでに「数学嫌いウイルス」に

day one of the class, OK?

感染した状態でやってくる生徒たちの話です。

These are kids who now, one semester in,

そんな生徒たちが、1学期経った今では、

I can put something on the board, totally new, totally foreign.

黒板にまったく新しい未知の問題を出しても大丈夫になっています。

And they'll have a conversation about it

その問題について、年度初めの頃より

for three or four minutes more than they

3、4分も長く話し合えるようになっていて、

would have at the start of the year, which is just so fun.

それが本当に楽しいんです。

We're no longer averse to word problems

もう文章題に拒否反応を示すことはありません。

because we've redefined what a word problem is.

文章題そのものの定義を変えてしまったからです。

We're no longer intimidated by math

数学を怖がることもなくなりました。

because we're slowly redefining what math is.

数学とは何かという定義を、少しずつ書き換えているからです。

This has been a lot of fun.

これは本当に楽しい取り組みでした。

I encourage math teachers I talk to to use multimedia

私は他の数学教師たちに、マルチメディアの活用を勧めています。

because it brings the real world into your classroom

現実の世界を、高解像度のフルカラーで

in high resolution in full color,

教室の中に持ち込んでくれるからです。

to encourage student intuition for that level playing field,

生徒の直感を後押しし、あの平等な土俵を作るため、

to ask the shortest question you possibly can

できるだけ短い問いを投げかけて、

and let those more specific questions come out

より具体的な問いは会話の中から自然に出てくるようにし、

in conversation, to let students build the problem

生徒自身に問題を組み立てさせるためです。

because Einstein said so.

アインシュタインもそう言っていましたから。

And finally, in total, just be less helpful

そして最後に、とにかく「手を貸しすぎない」ことです。

because the textbook is helping you in all the wrong ways.

教科書は、間違った形であなたを助けすぎているからです。

It's helping you, it's buying you out of your obligation

教科書はあなたを助けているように見えて、実は

for patient problem solving and math reasoning

粘り強い問題解決や数学的推論という責任を

to be less helpful.

肩代わりしてしまっている——だから手を貸しすぎないことです。

And why this is an amazing time to be a math teacher

そして今が数学教師にとって最高の時代である理由は、

right now is because we have the tools

質の高いカリキュラムを作るための道具が

to create this high quality curriculum in our front pocket.

ポケットの中に収まるほど身近にあるからです。

It's ubiquitous and fairly cheap.

その道具はどこにでもあり、しかもかなり安価です。

And the tools to distribute it freely under open licenses

オープンライセンスの下で無料配布するための手段も、

has also never been cheaper or more ubiquitous.

これまでになく安く、身近になっています。

I put a video series on my blog not so long ago

少し前、自分のブログに動画シリーズを公開したところ、

and it got 6,000 views in two weeks.

2週間で6,000回も再生されました。

I get emails still from teachers in countries

今でも、行ったこともない国の先生たちから

I've never visited saying, wow, yeah,

メールが届きます。「わあ、これで

we had a good conversation about that.

いい話し合いができた」という内容です。

Oh, and by the way, here's how I made your stuff better.

「ちなみに、あなたの教材をこう改善してみたよ」とも。

Which, wow, I put this problem on my blog recently.

最近ブログに載せた、こんな問題があります。

You're in a grocery store, which line do you get into?

スーパーのレジで、あなたはどの列に並びますか?

The one that has one cart and 19 items

カート1台で商品19個の列か、

with a line with four carts and three,

それともカート4台で商品が3個、

five, two, and one items.

5個、2個、1個ずつの列か。

The linear modeling involved in that

そこに関わる線形モデリングは、

was some good stuff in my classroom

教室ではとても良い題材になりました。

but it eventually got me on Good Morning America

でも数週間後には、なんと

a few weeks later.

『Good Morning America』に出演することになったんです。

Which is just bizarre, right?

本当に不思議な話ですよね。

And from all of this, I can only conclude that people,

こうしたすべてから、私はこう結論するしかありません——人々は、

not just students, are really hungry for this.

学生だけでなく、本当にこれを求めています。

Math makes sense of the world.

数学は世界を理解する助けになります。

Math is the vocabulary for your own intuition.

数学は自分の直感を語るための言葉です。

So I just really encourage you,

だからこそ、皆さんに強くお願いしたいのは、

whatever your stake is in education,

教育にどう関わっているかにかかわらず、

whether you're a student, parent,

学生でも、親でも、

teacher, policy maker, whatever,

教師でも、政策立案者でも、誰であっても、

just insist on better math curriculum.

より良い数学カリキュラムを求め続けてください。

We need more patient problem solvers.

私たちには、辛抱強く問題に取り組む人がもっと必要です。

Thank you.

ありがとうございました。

Oh!

おっと！