Imagine there's a hotel with infinite rooms.

無限の部屋を持つホテルを想像してください。

They're numbered one, two, three, four,

部屋には1、2、3、4と番号が振られていて、

and so on forever.

それが永遠に続きます。

This is the Hilbert Hotel and you are the manager.

これがヒルベルトホテル、あなたはその支配人です。

Now, it might seem like you could accommodate

一見、どんな人でも

anyone who ever shows up, but there is a limit,

受け入れられそうに思えますが、実は限界があります。

a way to exceed even the infinity of rooms

ヒルベルトホテルの無限の部屋数さえも

at the Hilbert Hotel.

超えてしまう方法があるのです。

To start, let's say only one person is allowed

まず、1部屋につき1人だけ泊まれるとして、

in each room and all the rooms are full.

すべての部屋が満室だとします。

There are an infinite number of people

無限人の人が

in an infinite number of rooms.

無限の部屋に泊まっています。

Then someone new shows up and they want a room,

そこへ新しい客がやって来て、部屋を求めますが、

but all the rooms are occupied, so what should you do?

すべて満室です。さて、どうしますか?

Well, a lesser manager might turn them away,

並の支配人なら断ってしまうところですが、

but you know about infinity, so you get on the PA

あなたは無限を知っているので、館内放送で

and you tell all the guests to move down a room.

全員に隣の部屋へ移動してもらいます。

So the person in room one moves to room two,

1号室の人は2号室へ、

the one in room two moves to room three,

2号室の人は3号室へ、

and so on down the line.

というように順に移動します。

And now you can put the new guest in room one.

こうして1号室が空き、新しい客を泊められます。

If a bus shows up with 100 people,

100人乗りのバスがやって来ても、

you know exactly what to do.

やることは同じです。

Just move everyone down 100 rooms

全員を100部屋分ずらして、

and put the new guests in their vacated rooms.

空いた部屋に新しい客を入れればいい。

But now say a bus shows up that is infinitely long

では、無限に長いバスが来て、

and it's carrying infinitely many people.

無限人の乗客がいるとしたら?

You knew what to do with a finite number of people,

有限人数なら対処法は分かっていましたが、

but what do you do with infinite people?

無限人にはどうすればいいのでしょう。

You think about it for a minute

少し考えてから、

and then come up with a plan.

ある作戦を思いつきます。

You tell each of your existing guests

今いる客全員に、

to move to the room with double their room number.

自分の部屋番号の2倍の部屋へ移ってもらいます。

So the person in room one moves to room two,

1号室の人は2号室へ、

room two moves to room four,

2号室は4号室へ、

room three to room six, and so on.

3号室は6号室へ、という具合です。

And now all of the odd numbered rooms are available.

これで奇数号室がすべて空きます。

And you know there are an infinite number of odd numbers,

奇数もまた無限にあるので、

so you can give each person on the infinite bus

無限バスの乗客一人ひとりに

a unique odd numbered room.

それぞれ別の奇数号室を割り当てられます。

This hotel is really starting to feel

このホテルは本当に

like it can fit everybody.

誰でも収容できるように思えてきます。

And that's the beauty of infinity, it goes on forever.

それが無限の美しさ、永遠に続くのです。

And then all of a sudden more infinite buses show up,

すると突然、さらに無限台のバスが現れます。

not just one or two,

1台や2台ではなく、

but an infinite number of infinite buses.

無限台の無限バスです。

So what can you do?

さて、どうしましょう。

Well, you pull out an infinite spreadsheet, of course.

もちろん、無限の表を取り出します。

You make a row for each bus,

バスごとに1行を作り、

bus one, bus two, bus three, and so on,

バス1、バス2、バス3、と続け、

and a row at the top for all the people

一番上の行には

who are already in the hotel.

すでにホテルにいる客を入れます。

The columns are for the position each person occupies.

列はそれぞれの人の位置を表します。

So you've got hotel room one, hotel room two,

ホテル1号室、ホテル2号室、

hotel room three, et cetera,

ホテル3号室、というように続き、

and then bus one, seat one, bus one, seat two,

バス1の1席目、バス1の2席目、

bus one, seat three, and so on.

バス1の3席目、と続きます。

So each person gets a unique identifier,

こうして各人に固有のIDが与えられます。

which is a combination of their vehicle

それは乗っている乗り物と

and their position in it.

その中での位置の組み合わせです。

So how do you assign the rooms?

では、部屋はどう割り当てるのでしょう?

Well, start in the top left corner

まず左上の角から始めて、

and draw a line that zigzags back and forth

表の上を

across the spreadsheet,

ジグザグに行き来する線を引きます。

going over each unique ID exactly once.

各IDをちょうど1回ずつ通るように。

Then imagine you pull on the opposite ends of this line

そしてこの線の両端を引っ張って

straightening it out.

まっすぐにすると想像してください。

So we've gone from an infinite by infinite grid

こうして無限×無限の格子から

to a single infinite line.

1本の無限の線になりました。

It's then pretty simple just to line up each person

あとは簡単で、その線上の各人を

on that line with a unique room in the hotel.

ホテルの部屋に1対1で並べるだけです。

So everyone fits, no problem.

こうして全員が問題なく収まります。

But now a big bus pulls up,

しかし今度は大きなバスがやって来ます。

an infinite party bus with no seats.

座席のない、無限のパーティーバスです。

Instead, everyone on board is identified

その代わり、乗客はみな

by their unique name, which is kind of strange.

少し変わった固有の名前で識別されます。

So their names all consist of only two letters, A and B,

名前はAとBの2文字だけで構成され、

but each name is infinitely long.

それぞれ無限に長いのです。

So someone is named A, B, B, A, A, A, A, A, A, A, A,

例えばある人はA、B、B、A、A、A、A、A、A、A、Aという名前で、

and so on forever.

それが永遠に続きます。

Someone else is named A, B, A, B, A, B, A, B, A, B,

別の人はA、B、A、B、A、B、A、B、A、Bという名前、

et cetera.

といった具合です。

On this bus, there's a person

このバスには

with every possible infinite sequence of these two letters.

AとBのあらゆる無限の並びに対応する人が乗っています。

Now, A, B, B, A, A, A, A,

さて、A、B、B、A、A、A、Aの人を

I'll call him Abba for short,

略してアバと呼ぶことにしましょう。

he comes into the hotel to arrange the rooms,

彼はホテルに来て部屋の手配を頼みますが、

but you tell him,

あなたはこう伝えます。

sorry, there's no way we can fit all of you in the hotel.

申し訳ないが、全員をこのホテルに収めることはできません。

And he's like, what do you mean?

彼は「どういうこと?」と言います。

There's an infinite number of us

僕らは無限人いて、

and you have an infinite number of rooms,

あなたには無限の部屋があるのに、

why won't this work?

なぜうまくいかないんですか?

So you show him,

そこであなたは彼に見せます。

you pull out your infinite spreadsheet again

再び無限の表を取り出し、

and start assigning rooms to people on the bus.

バスの乗客に部屋を割り当て始めます。

So you have room one, assign it to Abba,

1号室はアバに割り当て、

and then room two to A, B, A, B, A, B, A, B, repeating,

2号室はA、B、A、B…と繰り返す名前の人に、

and you keep going,

そうして続けていき、

putting a different string of As and Bs

各部屋番号の横に

beside each room number.

それぞれ異なるAとBの並びを書いていきます。

Now here's the problem you tell Abba,

ここであなたはアバにこう問題を出します。

let's say we have a complete infinite list,

たとえ完全な無限リストがあったとしても、

I can still write down the name of a person

まだ部屋を持たない人の名前を

who doesn't yet have a room.

書き出すことができる、と。

The way you do it is you take the first letter

やり方はこうです。1人目の名前の

of the first name and flip it from an A to a B,

1文字目を取り、AならBに変えます。

then take the second letter of the second name

次に2人目の名前の2文字目を取り、

and flip it from a B to an A.

BならAに変えます。

And you keep doing this all the way down the list

これをリストの最後まで続けていくと、

and the name you write down is guaranteed

そうして書き出した名前は

to appear nowhere on that list.

リストのどこにも存在しないことが保証されます。

Because it won't match the first letter of the first name

なぜなら1人目の名前の1文字目とも一致せず、

or the second letter of the second name

2人目の名前の2文字目とも一致せず、

or the third letter of the third name,

3人目の名前の3文字目とも一致しないからです。

it will be different from every name on the list

リスト上のすべての名前と

by at least one character, the letter on the diagonal.

少なくとも1文字、対角線上の文字が異なるのです。

The number of rooms in the Hilbert Hotel is infinite,

ヒルベルトホテルの部屋数は無限ですが、

sure, but it is countably infinite,

それは可算無限です。

meaning there are as many rooms

つまり部屋の数は

as there are positive integers one to infinity.

1から無限までの正の整数と同じだけあるということです。

By contrast, the number of people on the bus

それに対して、あのバスの乗客の数は

is uncountably infinite.

非可算無限です。

If you try to match up each one with an integer,

それぞれを整数と対応させようとしても、

you will still have people left over.

まだ人が余ってしまいます。

Some infinities are bigger than others.

無限にも大きさの違いがあるんです。

So there's a limit to the people

だから、収容できる人数には

that you can fit in the Hilbert Hotel.

ヒルベルトホテルでも限界があります。

This is mind blowing enough, but what's even crazier

これだけでも衝撃的ですが、さらに驚くべきことに

is that the discovery of different sized infinities

大きさの異なる無限の発見が

sparked a line of inquiry that led directly

ある探求の道筋を生み出し、それが直接

to the invention of the device

ある装置の発明へとつながりました

you're watching this on right now.

まさに今あなたがこれを見ているその装置です。

But that's a story for another time.

でも、それはまた別の機会にお話ししましょう。