In the 1920s, the German mathematician David Hilbert

1920年代、ドイツの数学者デイヴィッド・ヒルベルトは

devised a famous thought experiment

ある有名な思考実験を考案しました

to show us just how hard it is to wrap our minds

それは「無限」という概念を理解することが

around the concept of infinity.

いかに難しいかを示すためのものでした

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

無限の数の部屋を持つホテルを想像してください

and a very hardworking night manager.

そして、とても働き者の夜間支配人がいます

One night, the infinite hotel is completely full,

ある夜、この無限ホテルは満室でした

totally booked up with an infinite number of guests.

無限の数の客で完全に埋まっていたのです

A man walks into the hotel and asks for a room.

そこへ一人の男が入ってきて、部屋を求めます

Rather than turn him down, the night manager decides

支配人は男を断る代わりに

to make room for him.

彼のために部屋を用意することにしました

How?

どうやって？

Easy.

簡単です

He asks the guest in room number 1 to move to room 2,

1号室の客に2号室へ移ってもらい

the guest in room 2 to move to room 3, and so on.

2号室の客には3号室へ、という具合に頼みます

Every guest moves from room number n to room number n plus 1.

すべての客がn号室からn+1号室へ移動するのです

Since there are an infinite number of rooms,

部屋の数は無限にあるので

there is a new room for each existing guest.

既存の客一人一人に新しい部屋が用意できます

This leaves room 1 open for the new customer.

こうして1号室が新しい客のために空きます

The process can be repeated for any finite number of new guests.

この方法は、有限人数の新客であれば何度でも使えます

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

例えば観光バスから40人が降りてきたなら

then every existing guest just moves from room number n

既存の客全員がn号室から

to room number n plus 40,

n＋40号室へ移動するだけです

thus opening up the first 40 rooms.

これで最初の40部屋が空きます

But now an infinitely large bus

しかし今度は、無限に大きなバスが

with a countably infinite number of passengers

可算無限の乗客を乗せて

pulls up to rent rooms.

部屋を借りにやって来ました

Countably infinite is the key.

この「可算無限」という点が鍵です

Now, the infinite bus of infinite passengers

無限の乗客を乗せた無限のバスに

perplexes the night manager at first,

支配人は最初こそ困惑しますが

but he realizes there's a way to place each new person.

全員を泊める方法があることに気づきます

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

1号室の客には2号室へ移ってもらいます

He then asks the guest in room 2 to move to room 4,

続いて2号室の客には4号室へ

the guest in room 3 to move to room 6, and so on.

3号室の客には6号室へ、という具合です

Each current guest moves from room number n to room number 2n,

既存の客はn号室から2n号室へ移動し

filling up only the infinite even-numbered rooms.

無限にある偶数番号の部屋だけを埋めていきます

By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms,

こうして無限にある奇数番号の部屋がすべて空き

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

そこにバスから降りてくる乗客たちが入るのです

Everyone's happy, and the hotel's business is booming more than ever.

皆が満足し、ホテルの商売はこれまで以上に繁盛します

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

いえ、実際にはこれまでとまったく同じ規模で繁盛しているのです

banking an infinite number of dollars a night.

一晩で無限のドルを稼いでいるのですから

Word spreads about this incredible hotel.

この驚異のホテルの噂は広まっていきます

People pour in from far and wide.

遠く各地から客が押し寄せてきます

One night, the unthinkable happens.

ある夜、信じがたいことが起こります

The night manager looks outside

夜間支配人が外を見ると

and sees an infinite line of infinitely large buses,

無限に大きなバスが無限に列をなしていました

each with a countably infinite number of passengers.

その一台一台に、可算無限の乗客が乗っています

What can he do?

彼にできることは何でしょうか？

If he cannot find rooms for them,

全員分の部屋を用意できなければ

the hotel will lose out on an infinite amount of money,

ホテルは無限の金額を失うことになり

and he will surely lose his job.

彼は確実にクビになってしまいます

Luckily, he remembers that around the year 300 BCE,

幸いにも彼は、紀元前300年頃

Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers.

ユークリッドが素数は無限に存在すると証明したことを思い出します

So to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds

無限に疲れた旅行者を乗せた無限のバスのために

for infinite buses of infinite weary travelers,

無限のベッドを用意するという、一見不可能な課題を達成するため

the night manager assigns every current guest to the first prime number, two,

支配人は既存の客全員を、最初の素数である2の

raised to the power of their current room number.

現在の部屋番号乗にあたる部屋へ割り当てます

So the current occupant of room number seven

つまり、現在7号室にいる客は

goes to room number two to the seventh power,

2の7乗の部屋番号へ移り

which is room 128.

それは128号室になります

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

続いて支配人は、無限のバスのうち1台目の乗客を

and assigns them to the room number of the next prime, three,

次の素数である3の

raised to the power of their seat number on the bus.

バス内の座席番号乗の部屋番号に割り当てます

So the person in seat number seven on the first bus

つまり1台目のバスの7番席の人は

goes to room number three to the seventh power,

3の7乗の部屋番号へ移り

or room number 2,187.

それは2187号室になります

This continues for all of the first bus.

これを1台目のバスの乗客全員に対して続けます

The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, five.

2台目のバスの乗客には、次の素数5のべき乗を割り当てます

The following bus powers of seven.

その次のバスには7のべき乗を

Each bus follows powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc.

以降のバスにも11、13、17と、素数のべき乗を順に割り当てていきます

Since each of these numbers only has one

これらの数はどれも、1と

and the natural number powers of their prime number base as factors,

その素数のべき乗しか約数を持たないため

there are no overlapping room numbers.

部屋番号が重複することはありません

All the buses' passengers fan out into rooms

すべてのバスの乗客は、それぞれ固有の素数に基づいた

using unique room assignment schemes based on unique prime numbers.

独自の割り当て方式で各部屋へ振り分けられていきます

In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus,

こうして支配人は、すべてのバスの乗客全員を宿泊させることができます

although there will be many rooms that go unfilled, like room six,

ただし、6号室のように埋まらない部屋も多く残ります

since six is not a power of any prime number.

なぜなら6はどの素数のべき乗でもないからです

Luckily, his bosses weren't very good in math,

幸い、彼の上司たちは数学があまり得意ではなかったので

so his job is safe.

彼の仕事は無事守られました

The night manager's strategies are only possible

夜間支配人のこうした戦略が成り立つのは

because while the infinite hotel is certainly a logistical nightmare,

無限ホテルの運営は確かに悪夢のような難題でありながらも

it only deals with the lowest level of infinity,

それが扱っているのは最も低いレベルの無限

namely the countable infinity of the natural numbers,

つまり自然数の可算無限だからです

one, two, three, four, and so on.

1、2、3、4、というように続くものです

Georg Cantor called this level of infinity aleph zero.

ゲオルク・カントールはこのレベルの無限を「アレフゼロ」と呼びました

We use natural numbers for the room numbers

私たちは部屋番号にも

as well as the seat numbers on the buses.

バスの座席番号にも自然数を使っています

If we were dealing with higher orders of infinity,

もしこれがより高次の無限、

such as that of the real numbers,

例えば実数の無限を扱うものだったなら

these structured strategies would no longer be possible

こうした体系立った戦略はもはや通用しません

as we have no way to systematically include every number.

すべての数を体系的に含める方法が存在しないからです

The real number infinite hotel has negative number rooms in the basement,

実数の無限ホテルには、地下に負の数の部屋があり

fractional rooms, so the guy in room one half

分数の部屋もあります。二分の一号室の客は

always suspects he has less room than the guy in room one,

いつも1号室の客より部屋が狭いのではと疑っています

square root rooms, like room radical two,

ルート2号室のような平方根の部屋もあれば

and room pie, where the guests expect free dessert.

パイ号室では客がデザートのサービスを期待しています

What self-respecting night manager would ever want to work there,

まともな夜間支配人なら、そんなホテルで働きたいと思うでしょうか

even for an infinite salary?

たとえ無限の給料をもらえるとしても

But over at Hilbert's infinite hotel,

しかしヒルベルトの無限ホテルでは

where there's never any vacancy and always room for more,

満室であっても常に新たな客の余地があり

the scenarios faced by the ever-diligent

この勤勉で、少し面倒見が良すぎるほどの

and maybe too hospitable night manager

夜間支配人が直面する数々の状況は

serve to remind us of just how hard it is

私たちに気づかせてくれます

for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity.

有限な人間の頭で無限という概念を捉えることが、いかに難しいかを

Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep,

ぐっすり眠った後なら、これらの問題に取り組めるかもしれません

but honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.

でも正直なところ、夜中の2時に部屋を移ってもらうことになるかもしれません