This video is about the ridiculous way we used to calculate pi.

この動画では、昔使われていた馬鹿げた円周率の計算方法を紹介します。

For 2,000 years, the most successful method was painstakingly slow and tedious.

2000年もの間、最も成功した方法はうんざりするほど遅くて面倒なものでした。

But then Isaac Newton came along and changed the game.

しかしアイザック・ニュートンが登場し、すべてを変えました。

You could say he speed ran pi, and I'm going to show you how he did it.

彼は円周率を"speed run"したと言え、その方法をお見せします。

But first, pi with pizzas.

でもまずはピザで円周率を。

Cut the crust off a pizza and lay it across identical pizzas.

ピザの耳を切り取り、同じ大きさのピザに並べてみましょう。

And you'll find that it goes across three and a bit pizzas.

すると、ピザ3枚と少しの長さになることが分かります。

This is pi.

これが円周率です。

The circumference of a circle is roughly 3.14 times its diameter.

円の円周は、直径のおよそ3.14倍です。

But pi is also related to a circle's area.

しかし円周率は円の面積にも関係しています。

Area is just pi r squared.

面積は単純にπr²です。

But why is it pi r squared?

でもなぜπr²なのでしょうか。

Well, cut a pizza into really thin slices, and then form these slices into a rectangle.

ピザを薄くスライスして、そのスライスを長方形に並べ替えてみます。

Now, the area of this rectangle is just length times width.

この長方形の面積は、単純に縦×横です。

The length of the rectangle is half the circumference,

長方形の縦の長さは、円周の半分です。

because there's half the crust on one side and half on the other.

片側に半分、もう片側に残りの半分の耳が並ぶからです。

So the length is pi r.

つまり縦の長さはπrです。

And then the width is just the length of a piece of pizza,

そして横の長さは、ピザ一切れの長さそのもの。

which is the radius of the original circle.

つまり元の円の半径です。

So area is pi r times r.

だから面積はπr×rです。

Area is pi r squared.

面積はπr²になります。

So the area of a unit circle, then, is just pi.

つまり単位円の面積は、ちょうどπになります。

Keep that in mind, because it'll come in handy later.

これは後で役立つので覚えておいてください。

So what was the ridiculous way we used to calculate pi?

では、昔使われていた馬鹿げた円周率の計算方法とは何だったのでしょうか。

Well, it's sort of the most obvious way.

まあ、ある意味一番分かりやすい方法です。

It's easy to show that pi must be between three and four.

円周率が3と4の間にあることは簡単に示せます。

Take a circle and draw a hexagon inside it with sides of length one.

円を描き、その中に一辺の長さが1の六角形を描きます。

A regular hexagon can be divided into six equilateral triangles.

正六角形は6つの正三角形に分けられます。

So the diameter of the circle is two.

だから円の直径は2になります。

Now, the perimeter of the hexagon is six,

六角形の周の長さは6で、

and the circumference of the circle must be larger than this.

円の円周はこれより大きいはずです。

So pi must be greater than six over two.

つまり円周率は6÷2より大きいはずです。

So pi is greater than three.

だから円周率は3より大きい。

Now, draw a square around the circle.

次に、円の外側に正方形を描きます。

The perimeter of the square is eight,

正方形の周の長さは8で、

which is bigger than the circle's circumference.

これは円の円周より大きいです。

So pi must be less than eight over two.

つまり円周率は8÷2より小さいはずです。

So pi is less than four.

だから円周率は4より小さい。

This was actually known for thousands of years.

これは実は何千年も前から知られていました。

And then in 250 BC, Archimedes improved on the method.

そして紀元前250年、アルキメデスがこの方法を改良しました。

So first he starts with the hexagon, just like you did,

まず彼も、先ほどと同じく六角形から始めます。

and then he bisects the hexagon to a dodecagon.

そして六角形を二等分して十二角形にします。

So that's a 12-sided, regular 12-sided shape.

つまり12辺の正十二角形です。

And he calculates its perimeter.

そしてその周の長さを計算します。

The ratio of that perimeter to the diameter will be less than pi.

その周の長さと直径の比は円周率より小さくなります。

He does the same thing for a circumscribed 12-gon

外接する十二角形でも同じことを行い、

and finds an upper bound for pi.

円周率の上限を求めます。

The calculations now become a lot more tricky

ここから計算はぐっと厄介になります。

because he has to extract square roots and square roots of square roots

平方根や、平方根のさらに平方根を求め、

and turn all these into fractions.

それらすべてを分数に変換しなければならないからです。

But he works out the 12-gon and then the 24-gon,

それでも彼は十二角形、続いて二十四角形を計算し、

48-gon, and by the time he gets to the 96-gon,

四十八角形、そして九十六角形にたどり着く頃には、

he's sort of had enough.

さすがにうんざりしていました。

But in the end, he gets pi to between 3.1408 and 3.1429.

それでも最終的に、円周率を3.1408から3.1429の間まで絞り込みました。

So for over 2,000 years ago, that's not too bad.

2000年以上も前にしては、悪くない結果です。

Yeah, that seems like all the precision you'd need in pi.

ええ、円周率に必要な精度としては十分に思えますね。

Right, so this goes way beyond precision for any practical purpose.

その通り、これは実用上必要な精度をはるかに超えています。

This is now a matter of flexing your muscles.

もはやこれは腕試しの世界です。

You know, this is showing off just how much mathematical power you have

自分がどれほどの数学的な力を持っているかを見せつける、

that you can work out a constant like pi to very high precision.

円周率のような定数を非常に高い精度で求められることの証明なんです。

So for the next 2,000 years, this is how everyone carried on,

そこからさらに2000年もの間、誰もがこのやり方を続けました。

bisecting polygons to dizzying heights.

気が遠くなるほど多角形を分割し続けたのです。

As pi passed through Chinese, Indian, Persian, and Arab mathematicians,

円周率の探求は中国、インド、ペルシャ、アラブの数学者たちへと受け継がれ、

each contributed to these bounds along Archimedes' line.

それぞれがアルキメデスの手法に沿って、この範囲を精緻化していきました。

And in the late 16th century, Frenchman Francois Viet doubled a dozen more times than Archimedes,

16世紀後半、フランス人フランソワ・ヴィエトはアルキメデスよりさらに十数回多く分割を重ね、

computing the perimeter of a polygon with 393,216 sides,

393,216辺の多角形の周の長さを計算しました。

only to be outdone at the turn of the 17th century by the Dutch Ludolf van Coelen.

しかし17世紀の変わり目、オランダ人ルドルフ・ファン・コーレンにその記録を抜かれてしまいます。

He spent 25 years on the effort,

彼はこの取り組みに25年を費やし、

computing to high accuracy the perimeter of a polygon with 2 to the 62 sides.

2の62乗辺という多角形の周の長さを高精度で計算しました。

That is 4,611,686,018,427,387,904 sides.

それはつまり、4,611,686,018,427,387,904辺です。

What was the reward for all of that hard work?

その大変な努力への見返りは何だったのでしょうか。

Just 35 correct decimal places of pi.

円周率のわずか小数点以下35桁だけでした。

He had these digits inscribed on his tombstone.

彼はこの数字を自分の墓石に刻ませました。

20 years later, his record was surpassed by Christoph Grienberger,

その20年後、彼の記録はクリストフ・グリーンベルガーに抜かれ、

who got 38 correct decimal places.

小数点以下38桁を達成しました。

But he was the last to do it like this?

でも、この方法でやった最後の人物だったんですか?

Pretty much, yeah.

ほぼそうですね。

Because shortly thereafter, we get Sir Isaac Newton on the scene.

というのも、その少し後にアイザック・ニュートン卿が登場するからです。

And once Newton introduces his method, nobody is bisecting Engans ever again.

ニュートンが自身の手法を発表すると、もう誰も多角形を分割しなくなりました。

The year was 1666, and Newton was just 23 years old.

時は1666年、ニュートンはまだ23歳でした。

He was quarantining at home due to an outbreak of bubonic plague.

彼はペストの流行のため、自宅で隔離生活を送っていました。

Newton was playing around with simple expressions like 1 plus x all squared.

ニュートンは(1+x)²のような単純な式をいろいろ試していました。

You can multiply it out and get 1 plus 2x plus x squared.

これを展開すると1+2x+x²になります。

Or what about 1 plus x all cubed?

では(1+x)³はどうでしょう。

Well, again, you can multiply out all the terms and get 1 plus 3x plus 3x squared plus x cubed.

やはり展開すると1+3x+3x²+x³になります。

And you could do the same for 1 plus x to the 4 or 1 plus x to the 5 and so on.

(1+x)⁴や(1+x)⁵などでも同じことができます。

But Newton knew there was a pattern that allowed him to skip all the tedious arithmetic and go straight to the answer.

しかしニュートンは、面倒な計算を飛ばして直接答えにたどり着けるパターンがあることに気づいていました。

If you look at the numbers in these equations, the coefficients on x and x squared and so on,

これらの式に現れるxやx²などの係数を見ると、

well, they're actually just the numbers in Pascal's triangle.

それらは実はパスカルの三角形の数字そのものなのです。

The power that 1 plus x was raised to corresponds to the row of the triangle.

(1+x)の何乗かが、三角形の何段目かに対応しています。

Right, and Pascal's triangle is really easy to make.

その通りで、パスカルの三角形はとても簡単に作れます。

It's something that's been known from ancient Greeks and Indians and Chinese Persians.

古代ギリシャ、インド、中国、ペルシャの人々にも知られていたものです。

A lot of different cultures discovered this.

多くの異なる文化がこれを発見していました。

All you do is whenever you have a row, you just add the two neighbors,

やることは、ある段の隣り合う2つの数を足すだけで、

and that gives you the value of the row below it.

それが一段下の値になります。

So that's a really quick, easy thing.

だから本当に手早く簡単にできることなんです。

You can compute, you know, the coefficients for 1 plus x to the 10 in a second instead of sitting there doing all the algebra.

(1+x)¹⁰の係数も、延々と代数計算をせずに一瞬で求められます。

The thing that fascinated me when I started looking at those old documents

昔の文書を調べ始めたときに魅了されたのは、

was how even, like, I don't speak those languages.

私がその言語を話せなくても、

I don't know those number systems, and yet it is obvious.

その数の書き方すら知らなくても、それが明らかだということでした。

It is clear as day that they are all writing down the same thing,

誰もが同じものを書き記しているのが、一目瞭然なんです。

which today in the Western world we call Pascal's triangle.

それが現代の西洋で「パスカルの三角形」と呼ばれているものです。

That's the beauty of mathematics. It transcends culture, it transcends time, it transcends humanity.

それが数学の美しさです。文化を超え、時代を超え、人類さえも超えるのです。

It's going to be around well after we're gone, and ancient civilizations, alien civilizations will know Pascal's triangle.

私たちがいなくなった後もずっと残り、古代文明も、異星の文明もパスカルの三角形を知ることになるでしょう。

Over time, people worked out a general formula for the numbers in Pascal's triangle.

やがて人々は、パスカルの三角形の数を求める一般公式を編み出しました。

So you can calculate the numbers in any row without having to calculate all the rows before it.

これにより、それ以前の段をすべて計算しなくても、任意の段の数字を求められます。

For any expression 1 plus x to the n,

(1+x)のn乗という式は、

it is equal to 1 plus n times x plus n times n minus 1 x squared on 2 factorial

1+nx+n(n−1)x²/2!に等しく、

plus n times n minus 1 times n minus 2 times x cubed on 3 factorial and so on.

さらにn(n−1)(n−2)x³/3!と続いていきます。

And that's the binomial theorem.

これが二項定理です。

So binomial, because there's only two terms, 1 and x, bi is 2, there's two nomials,

「二項」というのは、1とxという2つの項があるからで、"bi"は2を意味します。

and theorem is that this is a theorem that you can rigorously prove

そして「定理」というのは、厳密に証明できるものだからです。

that this formula is exactly what you'll see as the coefficients in Pascal's triangle.

この公式が、パスカルの三角形に現れる係数そのものであることを。

So all of this was known in Newton's day already.

つまり、これらすべてはニュートンの時代にはすでに知られていたわけです。

Yeah, exactly. Everybody knew this, everybody saw this formula,

ええ、その通り。誰もがこれを知っていて、この公式を目にしていました。

and yet nobody thought to do with it the thing that Newton did with it,

それでも誰も、ニュートンがしたようなことをこの公式でやろうとは思いつかなかった。

which is to break the formula.

それは、この公式を"壊す"ことです。

The standard binomial theorem insists that you apply it only when n is a positive integer,

標準的な二項定理は、nが正の整数の場合にしか適用できないとされています。

which makes sense, right?

それは筋が通っていますよね?

This whole thing is about working out 1 plus x times itself a certain number of times.

そもそもこれは、(1+x)を何回か掛け合わせることについての話なのですから。

But Newton says, screw that, just apply the theorem.

でもニュートンは、そんなの気にせずとにかく定理を適用しようと考えた

I mean, math is about finding patterns and then extending them

数学ってパターンを見つけて、それを拡張することなんだ

and trying to find out where they break.

そしてどこで破綻するかを探ることでもある

So he tries 1 plus x to the negative 1.

そこで彼は1プラスxのマイナス1乗を試してみる

So that's 1 over 1 plus x.

それは1割る1プラスxのことだ

What happens if I just blindly plug in n equals negative 1 for the right-hand side of the formula?

右辺の公式にnイコールマイナス1をそのまま代入するとどうなるか

And what you get is the terms alternate back and forth,

すると各項が交互に入れ替わっていく

plus 1, minus 1, plus 1, minus 1, and so on forever.

プラス1、マイナス1、プラス1、マイナス1と永遠に続く

So that's 1 minus x, the next term will be a plus x squared,

つまり1マイナスx、次の項はプラスx二乗になる

the next term will be a minus x cubed, plus x to the fourth, minus x to the fifth,

その次はマイナスx三乗、プラスx四乗、マイナスx五乗と続く

so they're just alternating series with plus and minus signs as the coefficients.

係数がプラスマイナスで交互に切り替わる級数になっているだけだ

So it becomes an infinite series.

つまり無限級数になるということだね

Yeah, that's right. If you don't have a positive integer,

そう、正の整数でない場合は

the binomial theorem, Newton's binomial theorem, will give you an infinite sum.

ニュートンの二項定理は無限和を返してくる

But how do you understand that? Like for all positive integers,

でもそれをどう理解すればいい? 正の整数の場合は

it was just a finite set of terms and now we've got an infinite set of terms.

有限個の項だったのに、今度は無限個の項になっている

Yeah, so what happens is if you have a positive integer,

そう、正の整数の場合はこういうことが起きる

you remember that formula, the coefficient looks like n times n minus 1 times n minus 2,

あの公式を思い出すと、係数はn掛けるnマイナス1掛けるnマイナス2という形をしていて

and so on. When you get to n minus n,

そうやって続き、nマイナスnにたどり着くと

if n is a positive integer, you will eventually get there and n minus n is 0.

nが正の整数ならいずれそこに達し、nマイナスnはゼロになる

So that coefficient and all the coefficients after it are all 0,

だからその係数以降はすべてゼロになって

and that's why it's just a finite sum. It's a finite triangle.

それで有限和で済むんだ。有限の三角形だからね

But once you get outside of the triangle with positive integers,

でも正の整数の三角形の外に出てしまうと

you never hit n minus n because n is not a positive integer.

nが正の整数でないからnマイナスnには決してたどり着かない

So you get this infinite series.

だからこの無限級数が生まれるわけだ

So I think the big question is, does this actually work?

大きな疑問は、これが実際に成り立つのかということだと思う

Does Newton's infinite series actually give you the value of 1 over 1 plus x?

ニュートンの無限級数は本当に1割る1プラスxの値を与えてくれるのか

Right, and it might be nonsense.

そう、もしかしたらでたらめかもしれない

There's lots of math formulas that break completely when you do this, right?

こういうことをすると完全に破綻する数学の公式はたくさんあるよね

We have rules for a reason,

ルールがあるのには理由があるけれど

but we should always know the extent to which the rules have a chance of working farther.

そのルールがどこまで通用しうるのかは常に把握しておくべきだ

If you take that whole series and you multiply it by 1 plus x,

その級数全体を1プラスxに掛けてみると

and you multiply all that out, you'll see all the terms cancel except that leading 1.

すべて展開すると、先頭の1を除いて全部の項が打ち消し合うのがわかる

And so that big series times 1 plus x is 1.

つまりその大きな級数掛ける1プラスxは1になる

In other words, that big series is 1 over 1 plus x.

言い換えれば、その級数は1割る1プラスxそのものだ

That's how Newton justified to himself that it makes sense to apply the formula

こうしてニュートンは公式を適用しても意味があると自分で納得した

where it shouldn't be applicable.

本来なら適用できないはずの場面でもね

So Newton is convinced the binomial theorem works even for negative values of n,

こうしてニュートンはnが負の値でも二項定理が成り立つと確信する

which means there's more to Pascal's triangle.

つまりパスカルの三角形にはまだ先があるということだ

Above the zeroth row,

0行目のさらに上には

you could add a 0 and a 1 that add to make that first 1.

足して最初の1になる0と1を書き加えられる

And then that row would continue minus 1, plus 1, minus 1, plus 1,

そしてその行はマイナス1、プラス1、マイナス1、プラス1と続いていき

all the way out to infinity.

無限の彼方まで続いていく

And you know, outside the standard triangle,

そして通常の三角形の外側では

the implied value everywhere is 0.

暗黙の値はどこでもゼロとされている

And this fits with that.

それとこれはちゃんと辻褄が合っている

The alternating plus and minus ones add to make 0 everywhere in the row beneath them.

交互に並ぶプラスマイナス1が足し合わさって、その下の行のどこでもゼロになる

And you can extend the pattern for all negative integers,

このパターンはすべての負の整数に拡張でき

either using the binomial theorem

二項定理を使う方法もあれば

or just looking at what numbers would add together to make the numbers underneath.

下の数を作るために何を足せばいいか見るだけでもいい

And here's something amazing.

そしてここに驚くべきことがある

If you ignore the negative signs for a minute,

マイナス符号を少しの間無視すると

these are the exact same numbers

これらはまったく同じ数字で

arranged in the same pattern as in the main triangle.

元の三角形と同じパターンで並んでいる

The whole thing has just been rotated on its side.

全体がただ横に回転しただけなんだ

But Newton doesn't stop with the integers.

でもニュートンは整数だけでは終わらない

Next, he tries fractional powers,

次に彼は分数のべき乗を試す

like 1 plus x to the half.

1プラスxの2分の1乗のようにね

So now what does it mean you take 1 plus x to the one half?

では1プラスxの2分の1乗を取るとはどういう意味なのか

Well, that's the same thing as square root of 1 plus x.

それは1プラスxの平方根と同じことだ

And he wants to understand, does that have the same expansion?

そして彼は、それが同じ展開を持つのかを理解したいと思った

Putting n equals a half into the binomial theorem,

二項定理にnイコール2分の1を代入すると

he gets an infinite series.

無限級数が得られる

That makes me think that we could actually go into Pascal's triangle,

それを聞くと、パスカルの三角形の中に入り込んで

blow it up, and add fractions in between the rows that we're familiar with.

拡大して、おなじみの行の間に分数を書き加えられそうに思えるね

Exactly. There's even a continuum of Pascal's triangles.

その通り。パスカルの三角形の連続体すら存在する

Between 0 and 1, there's this, you know,

0と1の間には、その、

a continuum of numbers that you could put in for powers.

べき乗として代入できる数の連続体がある

You can think of each fraction, like a half, a quarter, a third,

2分の1、4分の1、3分の1といった各分数は

as existing in its own plane,

それぞれ独自の平面に存在すると考えられる

where in each plane pairs of numbers add to make the number beneath them.

その平面では、対になった数を足すとその下の数になる

n doesn't have to be a positive integer anymore.

もうnは正の整数である必要はない

It doesn't have to be a positive integer,

正の整数である必要はないし

it doesn't have to be a negative integer,

負の整数である必要もなく

it doesn't have to be an integer.

整数である必要すらない

So now we're going to take n to be a half,

そこで今度はnを2分の1として考えてみよう

and he works this thing out,

そして彼はこれを計算していく

and then he could do all kinds of things.

そうすればあらゆることができるようになる

For example, he could work out the square root of 3 very quickly and efficiently,

例えば、3の平方根をとても速く効率的に求められる

because the square root of 3,

なぜなら3の平方根は

we can write 3 as 4 minus 1,

3を4マイナス1と書き直せて

and if we pull out a 4,

そこから4をくくり出すと

then we get a square root of 4, which is just 2,

4の平方根、つまりただの2が出てくる

times the square root of 1 minus a quarter.

そこに1マイナス4分の1の平方根を掛けたものになる

If you put in minus a quarter for x in this series,

この級数のxにマイナス4分の1を代入すると

you'll get a very rapidly converging series expansion

とても速く収束する級数展開が得られて

that will quickly give you square root of 3 to high accuracy.

3の平方根を高い精度で素早く求められる

Now, Newton is particularly interested in n equals a half,

さて、ニュートンはnイコール2分の1に特に興味を持っている

because the equation for a unit circle is x squared plus y squared equals 1.

単位円の方程式がx二乗プラスy二乗イコール1だからだ

And if you solve for y,

そしてyについて解くと

well, the top part of the circle is equal to 1 minus x squared to the half.

円の上半分は1マイナスx二乗の2分の1乗に等しくなる

This is basically the same expression he's been looking at,

これは基本的に彼がずっと見てきた式と同じで

he just has to replace x by minus x squared,

xをマイナスx二乗に置き換えるだけでいい

which adds in some minus signs and doubles the power of x on each term,

それによっていくつかマイナス符号が加わり、各項のxの次数が2倍になる

but now he's got an equation for a circle

でもこれで円の方程式が手に入る

where each term is just a rational number times x raised to some power.

各項が有理数掛けるxのべき乗になっているものだ

Now we have two different ways of representing the same thing,

これで同じものを表す2通りの方法が手に入った

and whenever you have something like that, magic is about to happen,

こういう状況になるといつも、魔法が起ころうとしていて

fireworks is about to go off.

花火が上がろうとしている

But how does he use this to calculate pi?

でも彼はこれをどうやって円周率の計算に使うのか

Well, luckily for us, he had just invented calculus,

幸い、彼はちょうど微積分を発明したばかりで

or what he called the theory of fluxions.

彼はそれを流率法と呼んでいた

He realizes that if you integrate under that curve as x goes from 0 to 1,

xが0から1まで動く間にその曲線の下を積分すれば

you're getting the area under the curve, which is a quarter circle.

曲線の下の面積、つまり4分円の面積が得られると彼は気づく

And he knows that the area of a unit circle

そして単位円の面積が

is exactly pi r squared, except r is 1, so the area is pi.

ちょうどパイアール二乗であり、rが1だから面積はパイになると彼は知っている

And we want just a quarter, so the area is pi over 4.

その4分の1だけが欲しいので、面積はパイ割る4になる

On the other side, he has this nice series,

一方で、彼はこの素敵な級数を持っていて

and he knows how to integrate x to some power.

xのべき乗を積分する方法も知っている

You just increase each power of x by 1, and divide by the new power.

xの各べき乗に1を足して、その新しいべき乗で割ればいいだけだ

And now you have an infinite series of terms,

こうして無限個の項からなる級数が得られ

which just involve simple arithmetic with fractions.

それは分数の単純な四則計算だけで済むものだ

You put in x equals 1, and you can calculate pi to an arbitrarily high precision.

xイコール1を代入すれば、円周率を望むだけ高い精度で計算できる

But Newton goes even further, adding one final tweak.

でもニュートンはさらに先へ進み、最後の一工夫を加える

A not-good math paper has zero ideas.

良くない数学論文にはアイデアがゼロしかない

It's just pushing through things that everybody already knows but nobody bothered to do.

誰もが知っているのに誰もやろうとしなかったことを、ただ押し通しているだけだ

Then there are good math papers that have one new idea that's really shockingly new.

そして本当に驚くほど新しいアイデアを1つ持つ、良い数学論文がある

Newton's on new idea number 4 at this point, and he's about to have new idea number 5.

この時点でニュートンは新しいアイデア4つ目にいて、5つ目を迎えようとしている

And new idea number 5 is, instead of integrating from 0 to 1,

5つ目のアイデアは、0から1まで積分する代わりに

he's going to integrate just from 0 to a half.

0から2分の1までだけ積分するというものだ

You know, when you have an infinite series,

無限級数がある場合、

you want the terms to decrease in size as fast as possible.

各項はできるだけ速く小さくなってほしいんです。

That way you don't have to calculate as many of them to get a pretty good answer.

そうすれば、そこそこの精度を出すのに計算する項の数が少なくて済みます。

And Newton sees, if he integrates not from 0 to 1, but from 0 to a half,

そこでニュートンは、0から1ではなく0から2分の1まで積分すれば、

then when he subs in a half for x,

xに2分の1を代入したとき、

each term will shrink in size by an additional factor of x squared,

各項がx二乗の分だけさらに小さくなることに気づきます。

which in this case is a quarter.

この場合、それは4分の1にあたります。

But if you only integrate to a half,

ただし2分の1までしか積分しないとなると、

what is the area under the curve that you're computing?

実際に求めている曲線下の面積は何を表すのでしょうか。

Well, it is this part of a circle,

それは円のこの部分です。

which you can break into a 30 degree sector of the circle,

これは円の30度の扇形と、

which has an area of pi on 12,

面積が12分のπの部分と、

plus a right triangle with a base of a half and a height of root 3 on 2.

底辺が2分の1、高さが2分のルート3の直角三角形に分けられます。

So that integral should come out to this expression.

つまりこの積分は、この式になるはずです。

And rearranging for pi, you get the following.

πについて整理すると、次のようになります。

Now, if you evaluate only the first five terms,

最初の5項だけを計算すると、

you get pi equals 3.14161.

π＝3.14161という値が得られます。

That's off by just two parts in a hundred thousand.

誤差はわずか10万分の2程度です。

And to match the computational power of van Coelen's four quintillion sided polygon,

ファン・コーレンの4京角形と同じ精度を出すには、

you would only need to compute 50 terms in Newton's series.

ニュートンの級数ならたった50項計算すればよかったのです。

What before took years, now would take only days.

以前は何年もかかっていた計算が、数日で済むようになりました。

So no one was bisecting polygons to find pi ever again.

こうして、多角形を分割してπを求める人はいなくなりました。

Why would you?

わざわざそんなことする理由がありませんから。

Yeah, do you do all that work and somebody comes along and beats you in a second?

あれだけ苦労した末に、誰かが一瞬で上回っていくわけですからね。

It's sort of like, you know, once someone builds a crane

たとえるなら、誰かがクレーンを発明したのに、

and then somebody else is still climbing up on a ladder to put a brick on a house.

別の誰かがまだはしごで登ってレンガを積んでいるようなものです。

Like, that's just not how you build houses anymore.

もうそんな家の建て方はしませんよね。

We have new technology.

新しい技術があるんですから。

Are you out of your mind?

正気ですか？

You're going to, you know, we're going to build a hundred story house.

100階建ての建物を建てようとしているのに、

You're going to build a five story thing that's going to fall over.

5階建て用のやり方で作ったら倒れてしまいます。

You see it in New York City.

ニューヨークを見ればわかります。

You see literally where technology came along.

技術が入ってきた瞬間がはっきりと見て取れます。

There's like rows and rows of five story buildings

5階建ての建物がずらりと並んでいて、

and all of a sudden here's a 20 story and here's a 30 story and here's a 90 story.

突然そこに20階建て、30階建て、90階建てが現れるんです。

So it's all about who has the technology.

つまり全ては、誰が技術を持っているかにかかっています。

For me, this is a story about how the obvious way of doing things is not always the best way.

私にとってこれは、当たり前に思えるやり方が必ずしも最善とは限らないという話です。

And that it's often a good idea to play around with patterns

パターンをいろいろいじってみるのは、しばしば良いことで、

and push them beyond the bounds where you expect them to work.

それが通用すると思っていた範囲を超えて試してみる価値があります。

Because a little bit of insight in mathematics can go a very long way.

数学におけるちょっとした洞察が、大きな成果につながることがあるからです。

Hey, this video was sponsored by Brilliant,

さて、この動画はBrilliantの提供でお届けしています。

a website with interactive courses and quizzes

インタラクティブな講座とクイズが揃ったサイトで、

that let you dive deep into the topics like the ones I've shown in this video.

この動画で扱ったようなテーマを深く学べます。

Calculus, neural networks, programming in Python, they've got you covered.

微積分、ニューラルネットワーク、Pythonプログラミングまで幅広くカバーされています。

Now I sometimes get asked why I don't get into the nitty-gritty detail

よく聞かれるのですが、なぜ細かい部分まで踏み込まないのか、

or solve numerical problems in my videos.

あるいは動画内で数値問題を解かないのか、という質問です。

And the answer is because I don't think a video is the best way to learn those skills.

答えは、そうしたスキルを学ぶのに動画は最適な手段ではないと思っているからです。

The best way is to engage yourself in problem solving like you can on Brilliant.

最善の方法は、Brilliantでできるように自分自身で問題を解くことです。

I love the way they scaffold you through a topic,

彼らがテーマを段階的に組み立てていくやり方が気に入っています。

building your understanding and your confidence as you go.

進めるうちに理解と自信が積み上がっていくんです。

And as someone with a PhD in science education,

科学教育で博士号を持つ者として言わせてもらうと、

I can say this is the only real way to learn.

これこそが本当に身につく唯一の学び方だと断言できます。

You have to be a little uncomfortable to gain understanding.

理解を得るには、少し居心地の悪さを感じる必要があります。

When I do these quizzes, I find that my brain is really working.

実際にクイズをやってみると、脳がしっかり働いているのを感じます。

So I can guarantee that whatever level of education you're at,

だから断言できます、あなたがどんな学習レベルにいても、

Brilliant will have something for you.

Brilliantには必ず合うものが見つかります。

It's the perfect complement to watching fun educational videos.

楽しい教育系動画を見るのにぴったりの補完になります。

And for viewers of this channel,

そしてこのチャンネルの視聴者向けに、

Brilliant are offering 20% off an annual subscription

Brilliantは年間プランを20%オフで提供しています。

to the first 314 or pie hundred people to sign up.

先着314人、つまり「パイ100人」までの登録者限定です。

Just go to brilliant.org slash Veritasium.

brilliant.org/Veritasiumにアクセスしてください。

I will put that link down in the description.

リンクは概要欄に載せておきます。

So I want to thank Brilliant for supporting Veritasium,

Veritasiumを支えてくれているBrilliantに感謝します。

and I want to thank you for watching.

そして視聴してくれたあなたにも感謝します。