Before we get into the meat of algebra, I wanted to give you a quote from one of the greatest minds in human history, Galileo Galilei.

代数の本題に入る前に、人類史上最も偉大な知性の一人、ガリレオ・ガリレイの言葉を紹介したいと思います。

Because I think this quote encapsulates the true point of algebra and really mathematics in general.

この言葉は代数、そして数学全般の本質を見事に言い表していると思うからです。

He said,

彼はこう言いました。

And philosophy is written in that great book, which ever lies before our eyes, I mean the universe.

「哲学は、常に我々の目の前にある偉大な書物、すなわち宇宙の中に記されている」

But we cannot understand it if we do not first learn the language and grasp the symbols in which it is written.

「しかし、それが書かれている言語を学び、記号を理解しない限り、我々はそれを理解できない」

This book is written in the mathematical language, without which one wanders in vain through a dark labyrinth.

「この書物は数学の言語で書かれており、それなくしては暗い迷宮を虚しくさまようだけだ」

So very dramatic, but very deep.

かなり大げさですが、とても深い言葉です。

And this really is the point of mathematics.

そしてこれこそが、数学の本質なのです。

And what we'll see as we start getting deeper and deeper into algebra is that we're going to start abstracting things.

代数をより深く学んでいくと、物事を抽象化していくことになります。

And we're going to start getting to core ideas that start explaining really how the universe is structured.

そして、宇宙がどう構成されているかを説明する核心的な考え方にたどり着きます。

Sure, these ideas can be applied to things like economics and finance and physics and chemistry.

もちろん、これらの考え方は経済学や金融、物理学、化学にも応用できます。

But at their core, they're the same idea.

しかし、根底にあるのは同じ考え方です。

And so they're even more fundamental, more pure than any one of those applications.

だからこそ、それはどの応用分野よりも根源的で純粋なものなのです。

And to see what I mean by getting down to the root idea, let's go with a...

その「根本の考え方」がどういうことか、具体例で見てみましょう。

I guess we started with the very grand, you know, the philosophy of the universe is written in mathematics.

最初は「宇宙は数学で書かれている」という壮大な話から始めました。

But let's start with a very concrete, simple idea.

ここからは、とても具体的でシンプルな例から始めましょう。

But we'll keep abstracting and we'll see how the same idea connects across many domains in our universe.

そこから抽象化を進め、同じ考え方が宇宙の様々な分野とどうつながるかを見ていきます。

So let's just say we're at the store.

例えば、あなたがお店にいるとします。

And we're going to buy something.

何かを買おうとしています。

And there's a sale.

セール中です。

The sale says that it is 30% off.

セールでは30%オフになっています。

And I'm interested... I don't shop at two fancy stores.

私が興味があるのは...高級店で買い物はしないので。

So let's say I'm interested in a pair of pants.

例えばズボンを買おうとしているとします。

And the pair of pants before the sale even is about 20 bucks.

セール前のそのズボンは20ドルくらいです。

And that is about how much I spend on my pants.

私がズボンに使う金額はだいたいそれくらいです。

So I'm interested in a $20 pair of pants.

つまり20ドルのズボンに興味があるわけです。

But it's even better.

でも、もっといいことがあります。

There's a 30% off sale on these pants.

このズボンには30%オフのセールがかかっています。

Well, how would I think about how much I'm going to get off of that $20?

では、その20ドルからいくら引かれるのか、どう考えればいいでしょうか?

And this isn't algebra yet.

これはまだ代数ではありません。

This is something that you've probably had exposure to.

おそらく皆さんも見たことがある計算です。

You would multiply the 30% times the $20.

30%と20ドルを掛け算します。

So you would say your discount is equal to...

つまり、割引額はこう表せます。

You could write it as 30% times $20.

「30% × 20ドル」と書けます。

I'll do the $20 in purple.

20ドルは紫色で書きますね。

Or you could write it if you wanted to write this as a decimal.

あるいは小数で書くこともできます。

You could write this as 0.30 times $20.

「0.30 × 20ドル」と書けます。

And if you were to do the math, you would get $6.

実際に計算すると、6ドルになります。

So nothing new over there.

ここまでは特に新しいことはありません。

But what if I want to generalize it a little bit?

でも、これを少し一般化したらどうなるでしょうか?

That's the discount on this particular pair of pants.

これは、このズボン特有の割引額です。

But what if I wanted to know the discount on anything in the store?

では、店内のどの商品にも使える割引額を知りたい場合は?

Well, then I could say, well, let x be the price.

その場合、「価格をxとする」と言えます。

Let me do this in a different color.

色を変えて書きますね。

So I'm just going to make a symbol.

ここでひとつ記号を作ります。

Let x be the price of the product I want to buy.

買いたい商品の価格をxとします。

The non-discount price of the product in the store.

つまり、店にある商品の割引前の価格です。

So now all of a sudden we can say that our discount

そうすると、割引額はこう表せます。

is equal to 30% times x.

「30% × x」に等しい、と。

Or if we wanted to write it as a decimal,

あるいは小数で書きたければ、

if we wanted to write 30% as a decimal,

30%を小数で表すなら、

we could write 0.30 times x.

「0.30 × x」と書けます。

Now this is interesting.

ここが面白いところです。

Now you give me the price of any product in the store,

店内のどんな商品の価格を渡してもらっても、

and I can substitute it in for x.

それをxに代入できます。

And then I can essentially multiply 0.3 times that,

そしてそれに0.3を掛けるだけで、

and I would get the discount.

割引額が求められます。

So now we're starting to very slowly get into the abstraction of algebra.

こうして、ゆっくりと代数の抽象化に足を踏み入れ始めているわけです。

And we'll see that these will get much more nuanced and deep

この先、こうした考え方はもっと繊細で深いものになっていきます。

and frankly more beautiful as we start studying more and more

そして、学びを進めるほどに、より美しいものになっていきます。

kind of algebraic ideas.

代数的な考え方というものは。

But we aren't done here.

でも、まだここで終わりではありません。

We can abstract this even more.

さらに抽象化することができます。

Over here we've said we've generalized this for any product.

ここまでで、どんな商品にも使えるように一般化しました。

We're not just saying for this $20 product.

この20ドルの商品だけの話ではありません。

If there's a $10 product, we can put that $10 product in here for x,

10ドルの商品があれば、その10ドルをxに入れることができます。

and then we would say 0.30 times 10,

そうすると「0.30 × 10」となり、

and the discount would be $3.

割引額は3ドルになります。

It might be a $100 project, then the discount would be $30.

100ドルの商品なら、割引額は30ドルになります。

But let's generalize even more.

では、さらに一般化してみましょう。

Let's say, well, what is the discount for any given sale

どんなセールであっても、割引額はどうなるでしょうか。

when the sale is a certain percentage?

セールが何%オフであっても。

So now we can say that the discount...

そうすると、割引額は...

Let me define a variable.

変数を定義しましょう。

So let's let m equal...

mを...いや、

I'll say p just so it makes sense.

わかりやすいようにpとします。

P is equal to the percentage off.

Pは割引率とします。

Now what can we do?

さて、これで何ができるでしょうか?

Well, now we can say that the discount is equal to the percentage off.

割引額は割引率に等しい、と言えます。

In these other examples, we were picking 30%,

さっきの例では30%を使っていましたが、

but we can say now it's p.

今度はpと表せます。

It's the percentage off times the product in question,

割引率に、対象の商品を掛けたもの、

times the price, the non-discount price of the product in question.

つまり、対象商品の割引前の価格を掛けたものです。

Well, that was x.

それがxでしたね。

The discount is equal to p times x.

割引額は「p × x」に等しくなります。

Now this is really interesting.

これは本当に興味深いことです。

Now we have a general way of calculating a discount

これで、割引額を計算する一般的な方法が手に入りました。

for any given percentage off and any given product x.

どんな割引率でも、どんな商品xでも使える方法です。

And we didn't have to use these words in these letters.

これらの文字を、この言葉で表す必要はありませんでした。

We could have said let y equal the discount.

「yを割引額とする」と言うこともできました。

Then we could have written the same underlying idea.

そうすれば、同じ根本の考え方を書き表せます。

Instead of writing discount, we could have written

「割引額」と書く代わりに、こう書けたでしょう。

y is equal to the percentage off p

「yは割引率pに等しい」

times the non-discount price of the product, times x.

「商品の割引前の価格、つまりxを掛けたもの」

And you could have defined these letters any way you wanted.

これらの文字は、好きなように定義してよかったのです。

Instead of writing y there, you could have written a Greek letter

そこにyと書く代わりに、ギリシャ文字を書いてもよかったし、

or you could have written any symbol there,

どんな記号を書いてもよかったのです。

as long as you can keep track of that

ただし、それが何を表すかを

that symbol represents the actual dollar discount.

その記号が実際の割引額(ドル)を表すことを、追跡できていれば。

But now things get really interesting

でも、ここから本当に面白くなってきます。

because we can use this type of a relationship,

なぜなら、この種の関係式を使うことができるからです。

which is an equation.

これは方程式です。

You're equating y to this right over here.

yをこちらの式と等しいとしているわけです。

That's why we call it an equation.

だからこそ「方程式」と呼ぶのです。

This can be used for things that are completely unrelated

これは、まったく無関係なことにも使えます。

to the discount price at the store over here.

ここで扱った店の割引価格とは、まったく関係のないことにも。

So in physics, you'll see that force

例えば物理学では、力は

is equal to mass times acceleration.

質量×加速度に等しい、とされています。

The letters are different,

使う文字は違いますが、

but these are fundamentally the same idea.

根本的には同じ考え方です。

We could have let y is equal to force

yを力とすることもできますし、

and mass is equal to p.

質量をpとすることもできます。

So let me write p is equal to mass.

では、pは質量に等しい、と書きましょう。

And this wouldn't be an intuitive way to define it,

これは直感的な定義の仕方ではないかもしれませんが、

but I want to show you that this is the same idea,

これが同じ考え方だということを示したいのです。

the same relationship,

同じ関係性だということを。

but it's being applied to two completely different things.

ただ、まったく異なる2つのものに応用されているだけです。

And we could say x is equal to acceleration.

そして、xを加速度とすることもできます。

We could say x is equal to acceleration.

xを加速度とすることもできるのです。

Well, then the famous force is equal to mass times acceleration

そうすると、あの有名な「力は質量×加速度に等しい」という式になります。

can be rewritten,

こう書き換えられます

and it's really the same exact idea as y,

これはyとまったく同じ考え方です

which we've defined as force,

力として定義したものですね

can be equal to mass,

質量に等しいとできます

which we're going to use the symbol p,

ここでは記号pを使います

which is equal to p times acceleration.

pかける加速度に等しいわけです

We're just going to happen to use the letter x here, times x.

ここでは文字xを使って、xをかけます

Well, this is the exact same equation.

これはまったく同じ式なんです

We can see that we can take this equation

この式は他にも応用できます

and it can apply to things in economics

経済学の話にも当てはまりますし

or it can apply to things in finance

金融の話にも当てはまります

or it can apply to things in computer science

コンピュータサイエンスにも

or logic or electrical engineering or anything, accounting.

論理学や電気工学、会計にも当てはまります

There's an infinite number of applications of this one equation.

この一つの式に、応用先は無限にあるんです

And what's neat about mathematics

数学の面白いところ

and what's neat about algebra in particular is

特に代数の面白いところは

we can focus on this abstraction.

この抽象化に集中できることです

We can focus on the abstract here

抽象そのものに目を向けて

and we can manipulate the abstract here.

その抽象を操作できるんです

And what we discover from these ideas, from these manipulations,

そうした操作から発見したことは

can then go and be reapplied to all of these other applications,

他のあらゆる応用先に再び当てはめられます

to all of them.

そのすべてにです

And even neater is kind of telling us

さらに面白いのは

the true structure of the universe

これが宇宙の真の構造を教えてくれることです

if you were to strip away all of these human definitions

人間が作った定義を全部取り除いて

and all of these human applications.

人間が作った応用も全部取り除いたとしても

So, for example, we could say, look, if y is equal to p times x,

例えば、yがpかけるxに等しいとしましょう

so literally if someone said, hey, this is y,

誰かが「これがyだよ」と言って

and someone says on the other hand, they say, I have p times x,

別の誰かが「私はpかけるxを持ってるよ」と言ったら

I could say, well, you have the same thing in both of your hands.

両手にあるのは同じものだよ、と言えるわけです

And if you were to divide one of them by a number

片方をある数で割って

and if you wanted them to still be equal,

それでも等しいままにしたいなら

you would divide the other one by that number.

もう片方も同じ数で割ればいいんです

So, for example, let's say we know that y is equal to p times x.

例えば、yがpかけるxに等しいと分かっているとします

What if you wanted to have them both be equal

両方を等しくしたまま

and you say, well, what is y divided by x is going to be equal to?

yをxで割ったら何に等しくなるか考えてみましょう

Well, y was equal to p times x,

yはpかけるxに等しかったので

so y divided by x is going to be the same thing

yをxで割ったものは

as p times x divided by x.

pかけるxをxで割ったものと同じになります

But now this is interesting because p times x divided by x,

ここが面白いところで、pかけるxをxで割ると

well, if you multiply by something and then divide by that something,

何かをかけてから同じもので割ると

it's just to say you're going to get your original number.

結局もとの数に戻るだけなんです

If you multiply by 5 and divide by 5,

5をかけて5で割ったら

you're just going to start with p or whatever this number is.

結局pなど、もとの数に戻りますよね

So those would cancel out.

つまりそこは打ち消し合うわけです

But we were able to manipulate the abstraction here

こうして抽象を操作することで

and get y over x is equal to p,

yをxで割ったものがpに等しいと分かりました

and let me make that x green, y over x is equal to p.

このxを緑にしますね、yオーバーxはpに等しいです

And now this has implications for every one of these ideas.

そしてこれは先ほどのすべての例に意味を持ちます

One is telling us a fundamental truth about the universe,

これは宇宙の根本的な真実を教えてくれています

almost devoid of any of these applications,

どんな応用ともほぼ無関係に、です

but now we can go and take them back to any place that we applied.

でも今度はそれをどの応用先にも持ち帰れます

The really interesting thing is we're going to find new,

本当に面白いのは、新しい応用先を

there are an infinite number of applications,

無限に見つけていけることです

and we don't even know, frankly, most of them.

正直、そのほとんどをまだ知らないんです

We're going to discover new ones for them in a thousand years.

これから千年かけて新しい応用を発見していくでしょう

And so hopefully this gives you a sense for why Galileo said what he said

だから、ガリレオがあの言葉を残した理由が伝わればと思います

about really mathematics is really the language

数学こそが言語であるという言葉です

with which we can understand the philosophy of the universe.

宇宙の哲学を理解するための言語なんです

And that's why people tell us that if a completely alien life form

だからこそ、まったく異質な地球外生命体が

were to ever contact humans,

もし人類と接触したとしたら

mathematics would probably be our first common ground,

数学こそが最初の共通基盤になるだろうと言われるんです

the place that we can start to form a basis

そこから土台を築き始められる場所であり

that we can start to communicate from.

そこから意思疎通を始められる場所です