In the last video, we talked a little bit about compounding interest,

前回の動画では複利について少し話しました

and our example was interest that compounds annually, not continuously,

その例は連続複利ではなく年1回の複利でした

like we would see in a lot of banks.

多くの銀行で見られるようなものです

But I really just wanted to let you understand that although the idea is simple,

でも伝えたかったのは、考え方自体はシンプルだということです

every year you get 10% of the money that you started off with that year,

毎年、その年の初めの元手の10%を受け取ります

and it's called compounding because the next year you get money

複利と呼ばれるのは、翌年にはさらにお金が入ってくるからです

not just on your initial deposit, but you also get money or interest

最初の預金だけでなく

on the interest from previous years.

過去の年の利息にも利息がつくのです

That's why it's called compounding interest.

だから複利と呼ばれるのです

And although that idea is pretty simple, we saw that the math can get a little tricky.

考え方自体はシンプルでも、計算は少し厄介になることが分かりました

I mean, if you have a reasonable calculator, you can solve for some of these things

それなりの電卓があれば計算できる部分もありますが

if you know how to do it, but it's nearly impossible to actually do it in your head.

やり方さえ分かれば解けても、暗算ではほぼ不可能です

For example, at the end of the last video, we said,

例えば前回の動画の最後にこう言いました

hey, if I have $100 and if I'm compounding at 10% a year,

もし100ドルを持っていて年10%で複利運用するなら

that's where this 1 comes from, how long does it take for me to double my money

この「1」はそこから来ていて、お金が2倍になるまでどれくらいかかるか

and end up with this equation?

という式にたどり着きます

And to solve that equation, most calculators don't have a log base 1.1,

この式を解くには、ほとんどの電卓に底が1.1の対数機能がありません

and I've shown this in other videos.

これは他の動画でも説明しました

This, you could also say x is equal to log base 10 of 2 divided by log base 1.1 of 2.

つまりxは、log底10の2をlog底1.1の2で割ったものとも言えます

This is another way to calculate log base 1.1 of 2.

これはlog底1.1の2を計算する別の方法です

I say this. Oh, sorry.

と言いましたが、あ、すみません

This should be log base 10 of 1.1.

正しくはlog底10の1.1です

And I say this because most calculators have a log base 10 function,

こう言うのは、ほとんどの電卓にはlog底10の機能があるからです

and this and this are equivalent, and I've proven it in other videos.

この2つは等しく、それは他の動画で証明済みです

So in order to say how long does it take to double my money at 10% a year,

では年10%でお金が2倍になるまでの時間を求めるには

you'd have to put that in your calculator, and let's try it out.

電卓に入力する必要があるので、実際にやってみましょう

Let's try it out right here.

ここで実際に試してみます

So we're going to have 2, and we're going to take the logarithm of that,

まず2を入力し、その対数を取ります

which is 0.3, divided by, let's do open parenthesis here just to be careful,

それが0.3で、割り算のために念のため括弧を開いておきます

divided by 1.1 and the logarithm of that, let me close the parenthesis,

1.1の対数で割り、括弧を閉じます

is equal to 7.27 years, so roughly 7.3 years.

結果は7.27年、つまり約7.3年です

So this is roughly equal to 7.3 years.

これはおよそ7.3年に等しくなります

And as we saw in the last video, this is not necessarily trivial to set up,

前回の動画で見たように、この式を立てるのは必ずしも簡単ではありません

but even if you understand the math here, it's not easy to do this in your head.

たとえ計算方法を理解していても、暗算でやるのは容易ではありません

It's literally almost impossible to do in your head.

文字通り、暗算ではほぼ不可能です

So what I want to show you is a rule to approximate this question.

そこで紹介したいのが、この問いを概算するための法則です

How long does it take for you to double your money?

お金が2倍になるまでどれくらいかかるか

And that rule, this is called the rule of 72.

この法則は「72の法則」と呼ばれます

Sometimes it's the rule of 70 or the rule of 69,

70の法則や69の法則と呼ばれることもありますが

but rule of 72 tends to be the most typical one,

最も一般的なのは72の法則です

especially when you're talking about compounding over set periods of time,

特に一定期間ごとに複利計算する場合はそうです

maybe not continuous compounding.

連続複利の場合は少し違います

Continuous compounding, you'll get closer to 69 or 70,

連続複利では69や70に近い数字になりますが

but I'll show you what I mean in a second.

それについてはこの後説明します

So to answer that same question, so let's say I have 10% compounding annually,

同じ問いに答えるために、年10%の複利があるとします

10% interest compounding annually.

年利10%で複利計算する場合です

Using the rule of 72, I say how long does it take for me to double my money?

72の法則を使って、お金が2倍になるまでの時間を求めます

I literally take 72.

文字通り72を使います

That's why it's called the rule of 72.

だから72の法則と呼ばれるのです

I divide it by the percentage, so the percentage is 10.

これをパーセンテージで割ります。今回は10です

Its decimal representation is .1, but it's 10 per 100, percentage.

小数で表すと0.1ですが、100分の10、つまりパーセンテージとしては10です

So 72 divided by 10, and I get 7.2.

72を10で割ると7.2になります

It was annual, so 7.2 years.

年利なので、7.2年です

If this was 10% compounding monthly, it would be 7.2 months.

もし月利10%の複利なら、7.2か月になります

So I got 7.2 years, which is pretty darn close to what we got

7.2年という答えは、先ほどの

by doing all of that fancy math.

複雑な計算で出した結果とかなり近いですね

Similarly, let's say that I'm compounding, let's do another problem.

同じように、別の問題もやってみましょう

Let's say I'm compounding 6% compounding annually.

年6%の複利だとします

It's like that.

こんな感じです

Well, using the rule of 72, I just take 72, divide it by the 6,

72の法則を使うと、72を6で割ればいいだけです

and I get 6 goes into 72 12 times.

6は72に12回入ります

So it'll take 12 years for me to double my money

つまりお金が2倍になるまで12年かかります

if I'm getting 6% on my money compounding annually.

年6%の複利で運用している場合です

Let's see if that works out.

実際に確かめてみましょう

So we learned last time the other way to solve this

前回学んだ、もう1つの解き方では

would literally be we would say x, the answer to this,

xの答えは、文字通り

should be close to log base anything really of 2

底が何であってもよいlog底の2に近くなるはずで

divided by, this is where we get the doubling our money from,

それを割るのですが、ここがお金を2倍にする部分です

the 2 means 2 times our money,

この2は、お金が2倍になることを意味します

divided by log base of whatever this is, 10,

それをlog底10で割ります

of, in this case, instead of 1.1, it's going to be 1.06.

今回は1.1ではなく1.06になります

So you can already see it's a little bit more difficult.

もう少し複雑になるのが分かりますね

Get our calculator out.

電卓を出しましょう

So we have 2 log of that divided by 1.06 log of that

2の対数を1.06の対数で割ると

is equal to 11.89, so about 11.9.

11.89、つまり約11.9になります

So when you do all the fancy math, we got 11.9.

複雑な計算をすると11.9という結果でした

So once again, you see, this is a pretty good approximation,

これはかなり良い近似になっていますね

and this math is much, much, much simpler than this math,

そしてこちらの計算はあちらよりずっとずっと簡単です

and I think most of us can do this in our head.

たいていの人は暗算でできると思います

So this is actually a good way to impress people.

人を驚かせるのにもぴったりの方法です

And just to get a better sense of how good this number 72 is,

この72という数字がどれほど優れているか感じてもらうために

what I did is I plotted on a spreadsheet.

スプレッドシートにグラフを作ってみました

I said, okay, here's the different interest rates.

さまざまな利率を並べてみます

This is the actual time it would take to double.

これは実際に2倍になるまでの時間です

So I'm actually using this formula right here

この式を実際に使って

to figure out the actual, the precise amount of time

正確な時間を求め

it'll take to double.

2倍になるまでの時間を計算しています

Let's say this is in years if we're compounding annually.

年複利の場合、単位は年とします

So if you're at 1%, it'll take you 70 years to double your money.

利率1%なら、お金が2倍になるのに70年かかります

At 25%, it'll only take you a little over 3 years to double your money.

25%なら、2倍になるのに3年ちょっとで済みます

So this is the actual, this is the correct, and I'll do this in blue.

これが実際の、正確な数字で、青色で示します

This is the correct number right here.

これがここでの正確な数字です

So this is actual right there.

そこにあるのが実際の値です

That right there is the actual.

あそこにあるのが実際の値です

And I plotted it here too.

ここにもプロットしています

If you look at the blue line, that's the actual.

青い線を見ると、それが実際の値です

So I didn't plot all of them.

全部はプロットしていません

I think I started at maybe 4%.

たしか4%あたりから始めたと思います

So if you look at 4%, it takes you 17.6 years to double your money.

4%を見ると、2倍になるのに17.6年かかります

So 4%, it takes 17.6 years to double your money.

つまり4%では17.6年かかるということです

So that's that dot right there on the blue.

それが青い線上のあの点です

At 5%, it takes you 14 years to double your money.

5%なら、2倍になるのに14年かかります

And so this is also giving an appreciation that every percentage

これはまた、1パーセントの違いが

really does matter when you're talking about compounding interest.

複利においていかに重要かを実感させてくれます

When it takes 2%, it takes you 35 years to double your money.

2%だと、2倍になるのに35年かかります

1% takes you 70 years.

1%なら70年です

So you double your money twice as fast.

つまり2倍の速さでお金が倍になるわけです

So it really is really important,

だから本当に重要なんです

especially if you're thinking about doubling your money

特にお金を2倍にしようと考えているなら

or even tripling your money for that matter.

あるいは3倍にしようとしているならなおさらです

Now, in red over here, I said what does the rule of 72 predict?

ここで赤い部分は、72の法則が予測する値です

So if you just take 72 and divide it by 1%, you get 72.

72を1%で割ると72になります

If you take 72 divided by 4, you get 18.

72を4で割ると18になります

The rule of 72 says it'll take you 18 years

72の法則によれば18年かかることになります

to double your money at a 4% interest rate

利率4%でお金を2倍にする場合です

when the actual answer is 17.7 years.

実際の答えは17.7年です

So it's pretty close.

かなり近い数字ですね

So that's what's in red right there.

それがそこにある赤い数字です

And you can see, so I've plotted it here,

見ての通り、ここにプロットしていますが

the curves are pretty close.

2つの曲線はかなり近い形になっています

For low interest rates, so that's these interest rates over here,

低い金利、つまりこのあたりの金利の場合は

the rule of 72 slightly overestimates

72の法則は少し多めに見積もってしまいます

how long it'll take to double your money.

お金が倍になるまでの期間を

And as you get to higher interest rates,

そして金利が高くなっていくと

it slightly underestimates how long it'll take to double your money.

今度は少し少なめに見積もるようになります

And just so if you had to think about, gee, is 72 really the best number?

では72が本当に最適な数字なのか、考えてみましょう

Well, this is kind of what I did if you just take the interest rate

私がやったのはこういうことです。金利を取って

and you multiply it by the actual doubling time.

実際の倍増期間を掛け合わせてみたんです

And here you get a bunch of numbers.

そうするとたくさんの数字が出てきます

For low interest rates, 69 works good.

低い金利では69がよく当てはまります

For very high interest rates, 78 works good.

非常に高い金利では78がよく当てはまります

But if you look at this, 72 looks like a pretty good approximation.

でもこれを見ると、72はかなり良い近似値のようです

You can see it took us pretty well all the way from what I graphed here,

このグラフで示した範囲全体をうまくカバーしているのが分かります

4% all the way to 25%,

4%から25%まで

which is most of the interest rates most of us are going to deal with

これは私たちの多くが人生で扱うことになる

for most of our lives.

ほとんどの金利の範囲です

So hopefully you found that useful.

役に立ったなら嬉しいです

It's a very easy way to figure out how fast it's going to take you to double your money.

お金が倍になる期間をとても簡単に求められる方法です

Let's do one more just for fun.

せっかくなのでもう一つやってみましょう

I have a, oh, I don't know, a 4?

そうですね、例えば4%としましょうか

Well, I already did that.

あ、それはもうやりましたね

Let's say I have a 9% annual compounding.

年利9%の複利だとしましょう

How long does it take for me to double my money?

お金が倍になるまでどれくらいかかるでしょうか

Well, 72 divided by 9 is equal to 8 years.

72を9で割ると8年になります

It'll take me 8 years to double my money.

8年でお金が倍になるということです

And the actual answer, this is the approximate answer using the rule of 72,

これは72の法則を使った近似値ですが、実際の答えは

the actual answer, 9% is 8.04 years.

9%の場合、実際には8.04年です

So once again, in our head we were able to do a very, very, very good approximation.

つまり暗算でも、非常に精度の高い近似ができたわけです