In this video, I want to familiarize you

この動画では、皆さんに知ってほしいことがあります

with the idea of a limit, which is a super important idea.

それが「極限」という、とても重要な考え方です

It's really the idea that all of calculus is based upon.

微積分すべての土台になっている考え方なんです

But despite being so super important,

でも、これほど重要なのに

it's actually a really, really, really, really

実はものすごく

simple idea.

シンプルな考え方なんですよ

So let me draw a function here.

では、関数を描いてみましょう

Actually, let me define a function here,

というより、まず関数を定義します

a kind of a simple function.

わりと単純な関数です

So let's define f of x.

f(x)を定義しましょう

Let's say that f of x is going to be x minus 1 over x minus 1.

f(x)を「(x-1)分の(x-1)」とします

And you might say, hey, Sal, look,

こう思うかもしれません、サル、待って

I have the same thing in the numerator and the denominator.

分子と分母が同じじゃないか、と

If I have something divided by itself,

何かをそれ自身で割ったら

that would just be equal to 1.

答えは1になるはずですよね

Can't I just simplify this to f of x equals 1?

だったらf(x)=1に簡略化していいのでは?

And I would say, well, you're almost true.

それに対して、ほぼ正解です、と答えます

The difference between f of x equals 1 and this thing right

f(x)=1とこの式との違いは

over here is that this thing is undefined

この式がある点で定義されない、ということです

when x is equal to 1.

xが1のときです

Because if you set, let me define it right,

実際に確かめてみましょう

let me write it over here.

こちらに書いてみます

If you have f of, sorry, not f of 0, if you have f of 1,

f(0)ではなくf(1)を考えると

what happens?

何が起こるでしょうか

In the numerator, you get 1 minus 1,

分子は1引く1になります

which is, let me just write it down.

書いてみますね

In the numerator, you get 0.

分子は0になります

And in the denominator, you get 1 minus 1,

分母も1引く1で

which is also 0.

こちらも0になります

And so anything divided by 0, including 0 divided by 0,

0で割る計算は、0を0で割る場合も含めて

this is undefined.

定義されていません

So you can make the simplification.

なので、簡略化はできます

You can say that this is the same thing as f of x

この式は次と同じだと言えます

is equal to 1.

f(x)=1です

But you would have to add the constraint that x cannot be

ただし、条件を付け加える必要があります

equal to 1.

xは1であってはならない、という条件です

Now, this and this are equivalent.

この二つは同値になります

Both of these are going to be equal to 1

どちらも1になります

for all other x's other than 1.

1以外のすべてのxで

But at x equals 1, it becomes undefined.

でもx=1では定義されません

This is undefined, and this one's undefined.

こちらも、こちらも未定義です

So how would I graph this function?

では、この関数をどうグラフに描けばいいでしょうか

So let me graph it.

描いてみましょう

So that is my y is equal to f of x-axis.

これがy=f(x)の軸です

y is equal to f of x-axis.

y=f(x)の軸です

And then this over here is my x-axis.

そしてこちらがx軸です

And then let's say that this is the point x is equal to 1.

この点をx=1としましょう

This over here would be x is equal to negative 1.

こちらはx=マイナス1です

This is y is equal to 1.

こちらはy=1です

Right up there, I could do negative 1,

そのあたりにマイナス1も置けますが

but that won't matter much relative to this function

この関数にとってはあまり重要ではありません

right over here.

この部分では

And let me graph it.

では実際に描いてみます

So it's essentially, for any x other than 1, f of x

基本的に、1以外のどんなxでもf(x)は

is going to be equal to 1.

1になります

So it's going to look like this, except at 1.

つまり、1のところ以外はこんな形になります

At 1, f of x is undefined.

1では、f(x)は未定義です

So I'm going to put a little bit of a gap right over here,

なので、ここに小さな隙間を入れます

the circle to signify that this function is not defined.

この関数が定義されていないことを示す丸印です

We don't know what this function equals at 1.

1におけるこの関数の値はわかりません

We never defined it.

そもそも定義していないからです

This definition of the function doesn't tell us

この関数の定義は教えてくれません

what to do with 1.

1をどう扱うべきかを

It's literally undefined when x is equal to 1.

x=1のとき、文字通り未定義なんです

So this is the function right over here.

これがこの関数です

And so once again, if someone were to ask you,

もう一度、もし誰かに聞かれたとしたら

what is f of 1, and let's say that even if this was

f(1)は何か、と。たとえこれが

a function definition, you would go, OK, x is equal to 1.

関数の定義だったとしても、x=1だから、と考えて

Oh wait, there's a gap in my function over here.

あ、待って、ここには隙間があると気づくはずです

It is undefined.

未定義です

So let me write it again.

もう一度書いておきます

It's kind of redundant, but I'll rewrite it.

少しくどいですが、あえて書きます

f of 1 is undefined.

f(1)は未定義です

But what if I were to ask you, what

でも、もしこう聞いたらどうでしょう

is the function approaching as x equals 1?

xが1に近づくとき、関数はどこに近づいているか

Now this is starting to touch on the idea of a limit.

ここでいよいよ極限の考え方に触れてきます

So as x gets closer and closer to 1,

xが1にどんどん近づいていくにつれて

so as we get closer and closer x's to 1,

xの値を1にどんどん近づけていくと

what is the function approaching?

この関数は何に近づいていくでしょうか

Well, this entire time, the function,

ずっとの間、この関数は

what's it getting closer and closer to?

何に近づき続けているでしょうか

On the left-hand side, no matter how close you get to 1,

左側からは、1にどれだけ近づいても

as long as you're not at 1, you're actually at f of x

1そのものでない限り、実際はf(x)の値にいます

is equal to 1.

f(x)=1です

Over here from the right-hand side, you get the same thing.

右側から近づいても、同じことが言えます

So you could say, and we'll get more and more familiar

つまりこう言えます。この考え方には

with this idea as we do more examples,

例を重ねるうちにどんどん慣れていきますが

that the limit as x and L-I-M, short for limit,

「limの略のL-I-M」を使って、xが

as x approaches 1 of f of x is equal to, as we get closer,

1に近づくときのf(x)の極限は、近づくほど

we can get unbelievably, we can get infinitely close to 1

信じられないほど、無限に1へ近づけます

as long as we're not at 1, and our function

1そのものにはならない限りで、そして関数は

is going to be equal to 1.

1になります

It's getting closer and closer and closer to 1.

どんどん1に近づいていきます

It's actually at 1 the entire time.

実はずっと1のままなんです

So in this case, we could say the limit

つまりこの場合、こう言えます

as x approaches 1 of f of x is 1.

xが1に近づくときのf(x)の極限は1です

So once again, it has very fancy notation,

もう一度言うと、とても格式ばった記法ですが

which is saying, look, what is a function approaching as x

要は、xがどこかに近づくにつれて

gets closer and closer to 1?

関数が何に近づいていくか、を表しているだけです

Let me do another example where

別の例をやってみましょう

we're dealing with a curve, just so that you

曲線を扱う例です。そうすることで

have the general idea.

全体のイメージがつかめるはずです

So let's say that I have the function f of x.

関数f(x)があるとします

Let me just, for the sake of variety, let me call it g of x.

変化をつけるために、g(x)と呼ぶことにします

Let's say that we have g of x is equal to,

g(x)は次のように定義するとします

I could define it this way, we could define it as x squared

こう定義できます。xの2乗として

when x does not equal 2.

xが2でないときに

And let's say that when x equals 2, it is equal to 1.

そしてxが2のときは、1とします

So once again, it's kind of an interesting function that,

これもまた興味深い関数で

as you'll see, is not fully continuous.

見てわかる通り、完全には連続していません

It has a discontinuity.

不連続な点があります

Let me graph it.

グラフに描いてみましょう

So this is my y equals f of x-axis.

これがy=f(x)の軸です

This is my x-axis right over here.

こちらがx軸です

Let me draw x equals 2.

x=2を描きます

Let's say this is x equals 1.

これをx=1とします

This is x equals 2.

これがx=2です

This is negative 1.

これがマイナス1です

This is negative 2.

これがマイナス2です

And then let me draw.

では描いていきます

So everywhere except x equals 2, it's equal to x squared.

x=2以外のすべての点で、xの2乗になります

So let me draw it like this.

こんなふうに描いてみましょう

So it's going to be a parabola.

つまり、放物線になります。

Looks something like this.

こんな感じの形です。

It's going to look something.

こんな形になります。

Let me draw a better version of the parabola.

もっときれいに放物線を描いてみます。

So it looks something like this.

こんな感じになります。

Not the most beautifully drawn parabola

史上最高に美しい放物線とは言えませんが

in the history of drawing parabolas,

放物線を描いた歴史の中ではね

but I think it'll give you the idea.

でもイメージは伝わると思います。

I think you know what a parabola looks like, hopefully.

放物線がどんな形か、もうご存知だと思います。

It should be symmetric.

左右対称になるはずです。

Let me redraw it, because that's kind of ugly.

ちょっと不格好なので、描き直しますね。

OK, so let me, that's looking better.

よし、これでだいぶ良くなりました。

OK, all right, there you go.

はい、これでできました。

All right, now, this would be the graph of just x squared.

さて、これがx²だけのグラフです。

But it's not x squared when x is equal to 2.

でもxが2のときは、x²ではありません。

So once again, when x is equal to 2,

もう一度言うと、xが2のとき、

we should have a little bit of a discontinuity here.

ここに少し不連続な点ができるはずです。

So I'll draw a gap right over there.

なのでここに切れ目を描きます。

Because when x equals 2, the function is equal to 1.

xが2のとき、関数の値は1になるからです。

When x is equal to 2, so let's say that,

xが2のとき、そうですね、

and I'm not doing them on the same scale,

同じ縮尺では描いていませんが、

but let's say that on the graph of f of x

f(x)のグラフ上で言うと、

is equal to x squared, this would be 4,

x²のグラフでは、ここが4、

this would be 2, this would be 1, this would be 3.

ここが2、ここが1、ここが3です。

So when x is equal to 2, our function is equal to 1.

つまりxが2のとき、この関数は1になります。

So when x is equal to 2, our function is equal to 1.

つまりxが2のとき、この関数は1になります。

So this is a bit of a bizarre function,

ちょっと奇妙な関数ですが、

but we can define it this way.

こういう定義もできるんです。

You can define a function however you like to define it.

関数はどんなふうにでも定義できます。

And so notice, it's just like the graph of f of x

注目してほしいのは、これはf(x)=x²のグラフと

is equal to x squared, except when

ほとんど同じだということです。ただし

you get to 2, it has this gap.

2に達したところだけ、切れ目があります。

Because you don't use the f of x is equal to x squared

なぜなら、f(x)=x²は使わないからです、

when x is equal to 2.

xが2のときは。

You use f of x, or I should say g of x,

f(x)ではなく、g(x)を使います。

you use g of x is equal to 1.

g(x)=1を使うんです。

Have I been saying f of x?

今までf(x)って言ってましたか?

I apologize for that.

すみません、間違えていました。

You use g of x is equal to 1.

g(x)=1を使います。

So then at 2, just exactly at 2, it drops down to 1,

つまり2のところ、まさに2の地点で値は1に落ちて、

and then it keeps going along the function g of x

その後は関数g(x)に沿って進み、

is equal to, or I should say, along the function x squared.

つまりx²の関数に沿って続きます。

So my question to you, so there's a couple of things.

ここで質問です。いくつかポイントがあります。

If I were to just evaluate the function g of 2,

もし単純にg(2)を求めるとしたら、

well, you'd look at this definition.

この定義を見ればいいんです。

When x equals 2, I use this situation right over here,

xが2のときは、こちらの場合を使うので、

and it tells me it's going to be equal to 1.

答えは1になります。

Let me ask a more interesting question,

もっと面白い質問をしてみましょう。

or perhaps a more interesting question.

というか、より興味深い質問ですね。

What is the limit as x approaches 2 of g of x?

xが2に近づくときのg(x)の極限は何でしょうか?

Once again, fancy notation, but it's

難しそうな表記ですが、

asking something pretty, pretty, pretty simple.

聞いていることはとてもシンプルです。

It's saying as x gets closer and closer to 2,

つまり、xが2にどんどん近づいていくとき、

as you get closer and closer, and this isn't a rigorous

近づいていくにつれて、というのは厳密な

definition, we'll do that in future videos.

定義ではありません。それは今後の動画でやります。

As x gets closer and closer to 2, what is g of x approaching?

xが2に近づいていくとき、g(x)は何に近づくでしょうか?

So if you get to 1.9, and then 1.999,

1.9になり、次に1.999になり、

and then 1.9999999, and then 1.9999999,

さらに1.9999999、そして1.9999999になったら、

what is g of x approaching?

g(x)は何に近づいていくでしょうか?

Or if you were to go from the positive direction,

あるいは正の方向から近づくとしたら、

if you were to say 2.1, what's g of 2.1?

2.1のとき、g(2.1)は何でしょうか?

What's g of 2.01?

g(2.01)は?

What's g of 2.001?

g(2.001)は?

What is that approaching as we get closer and closer to it?

近づいていくにつれて、何に収束するでしょうか?

And you can see it visually just by drawing the graph.

これはグラフを描くだけで視覚的にわかります。

As g gets closer and closer to 2,

gが2にどんどん近づいていくと、

and if we were to follow it along the graph,

グラフに沿って追っていくと、

we see that we are approaching 4.

4に近づいていくのがわかります。

Even though that's not where the function is,

実際にはその値を関数は取らず、

the function drops down to 1, the limit of g of x

関数は1に落ち込みますが、g(x)の極限は

as x approaches 2 is equal to 4.

xが2に近づくとき4になります。

And you can even do this numerically

これは数値的にも確かめられます、

using a calculator.

電卓を使ってね。

And let me do that, because I think

実際にやってみましょう。

that will be interesting.

面白いと思うので。

So let me get a calculator out.

電卓を取り出しますね。

Let me get my trusty TI-85 out.

愛用のTI-85を出します。

So here is my calculator.

これが私の電卓です。

And you can numerically say, OK,

数値的に確認していきましょう。

what's it going to approach as you approach x equals 2?

xが2に近づくと、何に近づいていくでしょうか?

So let's try 1.9.

まず1.9を試してみます。

For x is equal to 1.9, you would use this top clause right

xが1.9のときは、上の場合を使います、

over here.

ここですね。

So you'd have 1.9 squared.

つまり1.9の2乗です。

And so you'd get 3.61.

結果は3.61になります。

Well, what if you get even closer to 2?

では、もっと2に近づいたらどうなるでしょう?

So 1.99.

1.99です。

And once again, let me square that.

もう一度、これを2乗してみます。

Well, now I'm at 3.96.

結果は3.96になりました。

Well, what if I do 1.999 and I square that?

では1.999を2乗するとどうなるでしょう?

And I square that.

2乗してみます。

I'm going to get 3.996.

3.996になります。

Notice, I'm getting closer and closer and closer

だんだん近づいていっているのがわかりますね、

to our point.

目標の値に。

And if I got really close, 1.99999999999 squared,

もっと近づけて、1.99999999999を2乗したら、

what am I going to get to?

どんな値になるでしょうか?

It's not actually going to be exactly 4.

実際にはぴったり4にはなりません。

This calculator just rounded things up.

この電卓が四捨五入しているだけです。

It's going to get to a number really, really, really,

限りなく4に近い数値に

really, really, really close to 4.

なっていきます。

And we can do something from the positive direction too.

正の方向からも同じことができます。

And it actually has to be the same number when

実は、下から近づく場合と

we approach from below what we're trying to approach

目標の値に近づく場合とで、

and above what we're trying to approach.

上から近づく場合も同じ数になるはずです。

So if we try 2.1 squared, we get 4.4.

2.1を2乗すると4.4になります。

If we do 2.0, let me go a couple of steps ahead.

2.0だと、少し先まで進めてみますね。

So this is much closer to 2 now squared.

これは2にずっと近い値を2乗したものです。

Now we're getting much closer to 4.

4にずっと近づいています。

So the closer we get to 2, the closer

つまり2に近づけば近づくほど、

it seems like we're getting to 4.

4に近づいていくようです。

So once again, that's a numeric way

これがもう一度、数値的に確かめる方法です。

of seeing that the limit as x approaches 2

xが2に近づくときの極限を、

from either direction of g of x, even though right

g(x)のどちら側からでも見る方法です。ちょうど

at 2, the function is equal to 1 because it's discontinuous.

2の地点では、不連続なので関数の値は1になりますが。

The limit as we're approaching 2,

2に近づいていく極限は、

we're getting closer and closer and closer to 4.

どんどん4に近づいていきます。