Hey, Vsauce. Michael here. There's a famous way to seemingly create chocolate out of nothing.

やあ、Vsauceのマイケルだよ。何もないところからチョコレートを生み出す有名な方法があるんだ。

Maybe you've seen it before. This chocolate bar is four squares by eight squares.

見たことがあるかもしれない。このチョコバーは縦4マス、横8マスだ。

But if you cut it like this, and then like this, and finally like this, you can rearrange the pieces like so

でもこう切って、こう切って、最後にこう切ると、こんな風にピースを並べ替えられる

and wind up with the same four by eight bar, but with a leftover piece apparently created out of thin air.

同じ4×8のバーができるのに、なぜか一切れ余分にできてしまう。

There's a popular animation of this illusion as well. I call it an illusion because it's just that, fake.

このトリックのアニメーションも有名だよね。トリックと呼ぶのは、これがまさにインチキだからだ。

In reality, the final bar is a bit smaller. It contains this much less chocolate.

実際には、最後にできるバーは少し小さくなっている。チョコの量もこれだけ減っているんだ。

Each square along the cut is shorter than it was in the original, but the cut makes it difficult to notice right away.

切り口に沿った各マスは元より少し短くなっているけど、切り方のせいですぐには気づきにくい。

The animation is extra misleading because it tries to cover up its deception.

あのアニメーションはさらに紛らわしくて、そのごまかしを隠そうとしている。

The lost height of each square is surreptitiously added in while the piece moves to make it hard to notice.

各マスで失われた高さは、ピースが動く間にこっそり足されて、気づかれにくくなっているんだ。

I mean, come on. Obviously, you cannot cut up a chocolate bar and rearrange the pieces into more than you started with.

でも当然、チョコバーを切って並べ替えただけで、元より量が増えるはずがない。

Or can you?

本当にそうかな?

One of the strangest theorems in modern mathematics is the Banach-Tarski paradox.

現代数学で最も奇妙な定理の一つが、バナッハ=タルスキーのパラドックスだ。

It proves that there is in fact a way to take an object and separate it into five different pieces.

これは、ある物体を5つの部分に分割する方法が実際に存在することを証明している。

And then, with those five pieces, simply rearrange them.

そしてその5つのピースを、ただ並べ替えるだけで、

No stretching required into two exact copies of the original item.

伸ばしたりせずに、元の物体とまったく同じものを2つ作れるんだ。

Same density, same size, same everything.

密度も大きさも、何もかも同じままで。

Seriously, to dive into the mind blow that it is and the way it fundamentally questions math and ourselves,

この驚きの正体と、それが数学や僕ら自身の根幹を問い直す様子に迫るには、

we have to start by asking a few questions.

まずいくつかの問いから始める必要がある。

First, what is infinity?

まず、無限とは何だろう?

A number? I mean, it's nowhere on the number line, but we often say things like,

数なのか? 数直線上のどこにも存在しないけど、僕らはよくこう言うよね、

there's an infinite number of blah, blah, blah.

「何々は無限にある」って。

And as far as we know, infinity could be real.

そして僕らの知る限り、無限は実在するかもしれない。

The universe may be infinite in size and flat, extending out forever and ever without end,

宇宙は大きさが無限で平坦かもしれず、永遠に果てしなく広がっている、

beyond even the part we can observe or ever hope to observe.

僕らが観測できる、あるいは観測しうる範囲のさらに向こうまで。

That's exactly what infinity is.

それこそが無限の正体だ。

Not a number per se, but rather a size.

厳密には数ではなく、むしろ「大きさ」なんだ。

The size of something that doesn't end.

終わらないものの大きさ。

Infinity is not the biggest number.

無限は最大の数ではない。

Instead, it is how many numbers there are.

むしろ、数がいくつあるかということなんだ。

But there are different sizes of infinity.

でも無限にも大きさの違いがある。

The smallest type of infinity is countable infinity, the number of hours in forever.

最小の無限は可算無限、つまり永遠に続く時間の数だ。

It's also the number of whole numbers that there are, natural numbers,

これは整数の個数、つまり自然数の個数でもある、

the numbers we use when counting things like 1, 2, 3, 4, 5, 6, and so on.

1、2、3、4、5、6…と物を数えるときに使う数だ。

Sets like these are unending, but they are countable.

こうした集合は終わりがないけど、数えることはできる。

Countable means that you can count them from one element to any other in a finite amount of time.

「可算」とは、ある要素から別の要素まで、有限の時間で数え進められるということだ。

Even if that finite amount of time is longer than you will live or the universe will exist for,

その有限の時間が、君の一生や宇宙の寿命より長くても、

it's still finite.

それでも有限には変わりない。

Uncountable infinity, on the other hand, is literally bigger.

一方で非可算無限は、文字通りもっと大きい。

Too big to even count.

数えることすらできないほど大きいんだ。

The number of real numbers that there are, not just whole numbers, but all numbers, is uncountably infinite.

実数の個数、つまり整数だけでなくすべての数の個数は、非可算無限になる。

You literally cannot count even from 0 to 1 in a finite amount of time by naming every real number in between.

0から1までのすべての実数を挙げようとしても、有限の時間では絶対に数え切れない。

I mean, where do you even start?

そもそも、どこから始めればいいんだ?

0, ok, but what comes next?

0、よし。でも次は?

Eventually, we would imagine a 1 going somewhere at the end, but there is no end.

いずれどこかの端に1が来ると想像するけど、端なんて存在しない。

We could always add another 0.

0はいくらでも付け足せてしまう。

Uncountability makes this set so much larger than the set of all whole numbers

非可算であるがゆえに、この集合は整数全体の集合よりもはるかに大きく、

that even between 0 and 1 there are more numbers than there are whole numbers on the entire endless number line.

0から1の間だけでも、果てしない数直線上の整数全部より多くの数が存在するんだ。

Gerrit Cantor's famous diagonal argument helps illustrate this.

ゲリット・カントールの有名な対角線論法が、これをうまく説明してくれる。

Imagine listing every number between 0 and 1.

0から1までのすべての数を書き並べると想像してみよう。

Since they are uncountable and can't be listed in order, let's imagine randomly generating them forever with no repeats.

非可算だから順番には並べられない。だから、重複なく永遠にランダムに生成していくと想像してみよう。

Each number we generate can be paired with a whole number.

生成した数はそれぞれ、ひとつの整数と対応づけられる。

If there's a 1 to 1 correspondence between the two, that is if we can match one whole number to each real number on our list,

もし両者の間に一対一対応があれば、つまりリスト上の各実数にひとつの整数を対応させられるなら、

that would mean that countable and uncountable sets are the same size.

可算集合と非可算集合が同じ大きさだということになる。

But we can't do that.

でも、それはできない。

Even though this list goes on forever, forever isn't enough.

このリストは永遠に続くのに、それでも足りないんだ。

Watch this.

見ていて。

If we go diagonally down our endless list of real numbers

この果てしない実数のリストを斜めに下っていって、

and take the first decimal of the first number and the second of the second number, the third of the third and so on

1番目の数の小数第1位、2番目の数の小数第2位、3番目の数の小数第3位…という具合に取り出し、

and add 1 to each, subtracting 1 if it happens to be a 9,

それぞれに1を足す。もし9ならそこから1を引く。

we can generate a new real number that is obviously between 0 and 1,

そうすると、明らかに0から1の間にある新しい実数が生成できる。

but since we've defined it to be different from every number on our endless list in at least one place,

でもこの数は、リスト上のどの数とも少なくとも1桁は異なるように定義したから、

it's clearly not contained in the list.

明らかにこのリストには含まれていない。

In other words, we've used up every single whole number, the entire infinity of them,

つまり、僕らはすべての整数を、その無限個全部を使い切ったのに、

and yet we can still come up with more real numbers.

それでもまだ新しい実数を作り出せてしまうんだ。

Here's something else that is true but counterintuitive.

もうひとつ、正しいけど直感に反することがある。

There are the same number of even numbers as there are even and odd numbers.

偶数の個数は、偶数と奇数を合わせた個数と同じなんだ。

At first, that sounds ridiculous.

最初はばかげて聞こえるよね。

Clearly, there are only half as many even numbers as all whole numbers, but that intuition is wrong.

偶数は整数全体の半分しかないはずだと思うけど、その直感は間違っている。

The set of all whole numbers is denser, but every even number can be matched with a whole number.

整数全体の集合の方が密ではあるけど、どの偶数も整数ひとつに対応づけられる。

You will never run out of members of either set,

どちらの集合も要素が尽きることはなく、

so this one-to-one correspondence shows that both sets are the same size.

この一対一対応が、両方の集合が同じ大きさだということを示している。

In other words, infinity divided by 2 is still infinity.

つまり、無限を2で割っても無限のままなんだ。

Infinity plus 1 is also infinity.

無限に1を足しても、やはり無限だ。

A good illustration of this is Hilbert's paradox of the Grand Hotel.

これをよく表しているのが、ヒルベルトの「グランドホテルのパラドックス」だ。

Imagine a hotel with a countably infinite number of rooms,

可算無限個の部屋を持つホテルを想像してみよう。

but now imagine that there is a person booked into every single room.

そして、そのすべての部屋に客が入っていると想像する。

Seemingly, it's fully booked, right?

見たところ満室だよね?

No. Infinite sets go against common sense.

いや、違う。無限集合は常識に反するんだ。

You see, if a new guest shows up and wants a room,

新しい客が来て部屋を求めたとしても、

all the hotel has to do is move the guest in room number 1 to room number 2,

ホテルは1号室の客を2号室に移すだけでいい。

and the guest in room 2 to room 3 and 3 to 4 and 4 to 5 and so on.

2号室の客は3号室へ、3号室の客は4号室へ、4号室の客は5号室へ、という具合に。

Because the number of rooms is never-ending, we cannot run out of rooms.

部屋の数は無限に続くから、部屋が足りなくなることはない。

Infinity minus 1 is also infinity again.

無限から1を引いても、やはり無限のままだ。

If one guest leaves the hotel, we can shift every guest the other way.

客がひとりホテルを去っても、全員を逆方向にずらせばいい。

Guest 2 goes to room 1, 3 to 2, 4 to 3, and so on.

2号室の客は1号室へ、3号室の客は2号室へ、4号室の客は3号室へ、という具合に。

Because we have an infinite amount of guests, that is a never-ending supply of them,

客の数は無限、つまり尽きることのない供給があるから、

no room will be left empty.

空室になる部屋はひとつもない。

As it turns out, you can subtract any finite number from infinity

実は、無限からどんな有限の数を引いても、

and still be left with infinity.

やはり無限が残るんだ。

It doesn't care. It's unending.

無限は気にしない。終わらないんだから。

Banach-Tarski hasn't left our sights yet. All of this is related.

バナッハ=タルスキーはまだ視界から消えていない。これら全部がつながっているんだ。

We are now ready to move on to shapes.

さあ、いよいよ図形の話に進む準備ができた。

Hilbert's hotel can be applied to a circle.

ヒルベルトのホテルは円にも当てはめられる。

Points around the circumference can be thought of as guests.

円周上の点を客だと考えてみよう。

If we remove one point from the circle, that point is gone, right?

円からひとつ点を取り除いたら、その点は消えてしまうよね?

Infinity tells us it doesn't matter.

無限は、それは問題ではないと教えてくれる。

The circumference of a circle is irrational.

円の円周は無理数だ。

It's the radius times 2 pi.

半径に2πを掛けたものだからね。

So, if we mark off points beginning from the whole,

だから、その欠けた点から始めて印をつけていき、

every radius length along the circumference going clockwise,

円周に沿って時計回りに、半径の長さずつ進むごとに印をつけると、

we will never land on the same point twice. Ever.

同じ点に二度と重なることは絶対にない。

We can count off each point we mark with a whole number.

印をつけた点はそれぞれ、整数で数えることができる。

So, this set is never-ending, but countable,

つまりこの集合は終わりがないけど、可算なんだ。

just like guests in rooms in Hilbert's hotel.

ヒルベルトのホテルの客たちとまったく同じように。

And like those guests, even though one has checked out,

そしてあの客たちのように、ひとりがチェックアウトしても、

we can just shift the rest, move them counter-clockwise,

残りを反時計回りにずらしていくだけでいい。

and every room will be filled.

そうすればすべての部屋が埋まる。

Point 1 moves to fill in the whole.

点1が動いて、欠けた場所を埋める。

Point 2 fills in the place where point 1 used to be.

点2が、かつて点1があった場所を埋める。

3 fills in 2, and so on.

点3が点2の場所を埋める、という具合に続く。

Since we have an unending supply of numbered points,

番号のついた点は尽きることなく供給されるから、

no whole will be left unfilled.

埋まらない穴はひとつも残らない。

The missing point is forgotten.

消えた点のことは忘れられてしまう。

We apparently never needed it to be complete.

完全であるために、それは最初から必要なかったみたいだ。

There's one last meadow consequence of infinity

無限がもたらす、もうひとつの奇妙な帰結がある

we should discuss before tackling Banach-Tarski.

バナッハ=タルスキーに取り組む前に、それについて話しておこう。

Ian Stewart famously proposed a brilliant dictionary,

イアン・スチュワートは、ある見事な辞書を提案したことで知られている。

one that he called the HyperWebster.

彼はそれを「ハイパーウェブスター」と呼んだ。

The HyperWebster lists every single possible word of any length

ハイパーウェブスターには、あらゆる長さの、あり得るすべての単語が載っている

formed from the 26 letters in the English alphabet.

英語のアルファベット26文字から作られています。

It begins with A, followed by AA,

まずAから始まり、次にAA、

then AAA, then AAAA,

それからAAA、AAAA、

and after an infinite number of those, AB,

そしてそれが無限に続いた後にAB、

then ABA, then ABAA,

次にABA、ABAA、

ABAAA, and so on until Z,

ABAAA、と続いてZまで、

ZA, ZAA, etc., etc.,

ZA、ZAA…という具合に、

until the final entry, an infinite sequence of Zs.

最後はZが無限に続く項目で終わります。

Such a dictionary would contain every single word.

そんな辞書には、あらゆる単語が載っていることになります。

Nay, every single thought, definition, description,

いや、あらゆる思考、定義、説明、

truth, lie, name, story,

真実、嘘、名前、物語まで、

what happened to Amelia Earhart would be in that dictionary,

アメリア・イアハートに何が起きたかも、その辞書に載っているはずです。

as well as every single thing that didn't happen to Amelia Earhart.

彼女に起きなかった出来事も、すべて含まれます。

Everything that could be said using our alphabet.

このアルファベットで表現できることすべてが、です。

Obviously, it would be huge,

もちろん、とてつもなく巨大になりますが、

but the company publishing it might realize that they could take a shortcut.

出版社は近道があることに気づくかもしれません。

If they put all the words that begin with A in a volume titled A,

Aで始まる単語をすべて「A巻」にまとめれば、

they wouldn't have to print the initial A.

最初のAを印刷する必要がなくなります。

Readers would know to just add the A because it's the A volume.

読者はA巻だと分かっているので、頭にAを補えばいいのです。

By removing the initial A,

最初のAを取り除くと、

the publisher is left with every A word sans the first A,

出版社の手元には、先頭のAを除いたすべてのA単語が残り、

which has surprisingly become every possible word.

それが驚くことに、あらゆる可能な単語そのものになっています。

Just one of the 26 volumes has been decomposed into the entire thing.

26巻のうちのたった1冊が、全体そのものに分解されたのです。

It is now that we're ready to investigate this video's titular paradox.

さあ、いよいよこの動画のタイトルにあるパラドックスを検証する準備ができました。

What if we turned an object, a 3D thing, into a hyperwebster?

もし立体物を「ハイパーウェブスター」に変えたらどうなるでしょう?

Could we decompose pieces of it into the whole thing?

その一部を分解して、全体そのものにできるのでしょうか?

Yes.

できます。

The first thing we need to do is give every single point on the surface of the sphere

まず最初にやるべきことは、球面上のすべての点に

one name and one name only.

ただ一つだけの名前をつけることです。

A good way to do this is to name them after how they can be reached by a given starting point.

良い方法は、ある出発点からどうやってその点に到達できるかで名前をつけることです。

If we move this starting point across the surface of the sphere in steps

この出発点を球面上で、

that are just the right length,

ちょうどいい長さのステップで動かしていくと、

no matter how many times or in what direction we rotate,

何回、どの方向に回転させても、

so long as we never backtrack,

後戻りさえしなければ、

it will never wind up in the same place twice.

同じ場所に二度と戻ることはありません。

We only need to rotate in four directions to achieve this paradox.

このパラドックスを起こすには、4方向の回転だけあれば十分です。

Up, down, left and right, around two perpendicular axes.

上、下、左、右、2つの垂直な軸を中心にした回転です。

We are going to need every single possible sequence that can be made

これら4つの回転だけで作れる、

of any finite length out of just these four rotations.

あらゆる有限長の組み合わせがすべて必要になります。

That means we will need left, right, up and down,

つまり、左、右、上、下、

as well as left-left, left-up, left-down,

さらに左左、左上、左下、

but of course not left-right because, well, that's backtracking.

でも左右はもちろん除きます、それは後戻りだからです。

Going left and then right means you're the same as you were before you did anything.

左に行ってから右に行くと、何もしていない状態と同じになってしまいます。

So, no left-rights, no right-lefts and no up-downs and no down-ups.

だから左右、右左、上下、下上はすべて禁止です。

Also, notice that I'm writing the rotations in order right to left,

また、回転は右から左の順に書いていることに注意してください。

so the final rotation is the leftmost letter.

つまり最後の回転が一番左の文字になります。

That will be important later on.

これは後で重要になります。

Anyway, a list of all possible sequences of allowed rotations that are finite in length

ともかく、許された回転で作れる有限長の全パターンのリストは、

is, well, huge. Countably infinite, in fact.

とてつもなく巨大です。実は可算無限個あります。

But if we apply each one of them to a starting point in green here

でも、それぞれをこの緑の出発点に適用して、

and then name the point we land on after the sequence that brought us there,

たどり着いた点にその回転列の名前をつければ、

we can name a countably infinite set of points on the surface.

球面上の可算無限個の点に名前をつけられます。

Let's look at how, say, these four strings on our list would work.

例えば、リストにあるこの4つの文字列がどう働くか見てみましょう。

Right, up, left.

右、上、左。

Okay, rotating the starting point this way takes us here.

この順で出発点を回転させると、ここに来ます。

Let's color-code the point based on the final rotation and its string.

最後の回転とその文字列に基づいて、点に色をつけましょう。

In this case, it's left, and for that we will use purple.

今回は左なので、紫を使います。

Next up, down-down.

次は、下下です。

That sequence takes us here.

この回転列だと、ここに来ます。

We name the point DD and color it blue since we ended with a down rotation.

この点はDDと名付け、最後が下回転なので青にします。

RDR, that will be this point's name, takes us here.

RDR、これがこの点の名前で、ここに来ます。

And for a final right rotation, let's use red.

最後が右回転の場合は、赤を使いましょう。

Finally, for a sequence that ends with up, let's color-code the point orange.

最後に、上で終わる回転列の点はオレンジにします。

Now, if we imagine completing this process for every single sequence,

さて、このプロセスをすべての回転列に対して行うと想像すると、

we will have a countably infinite number of points named and color-coded.

可算無限個の点に名前と色がついたことになります。

That's great, but not enough.

素晴らしいですが、まだ足りません。

There are an uncountably infinite number of points on a sphere's surface.

球面上には非可算無限個の点があるからです。

But no worries, we can just pick a point we missed, any point,

でも心配いりません。見落とした点を、どれでもいいので選んで、

and color it green, making it a new starting point,

緑に塗り、新しい出発点にすればいいのです。

and then run every sequence from here.

そして、そこからすべての回転列を実行します。

After doing this to an uncountably infinite number of starting points,

これを非可算無限個の出発点に対して行えば、

we will have indeed named and colored every single point on the surface just once.

球面上のすべての点に、ちょうど一度ずつ名前と色をつけたことになります。

With the exception of poles.

極を除いては。

Every sequence has two poles of rotation,

すべての回転列には2つの回転の極があり、

locations on the sphere that come back to exactly where they started.

それは球面上で、回転しても元の位置にちょうど戻ってくる場所です。

For any sequence of right or left rotations,

右または左の回転列であれば、

the poles are the north and south poles.

その極は北極と南極になります。

The problem with poles like these is that more than one sequence can lead us to them.

こうした極の問題は、複数の回転列が同じ極にたどり着いてしまうことです。

They can be named more than once and be colored in more than one color.

一つの点に複数の名前がつき、複数の色で塗られてしまう可能性があります。

For example, if you follow some other sequence to the north or south pole,

例えば、別の回転列で北極や南極にたどり着いた場合、

any subsequent rights or lefts will be equally valid names.

その後に続く右や左も、同じように有効な名前になってしまいます。

In order to deal with this, we're going to just count them out of normal scheme

これに対処するため、通常の方式からは除外して、

and color them all yellow.

すべて黄色に塗ることにします。

Every sequence has two, so there are a countably infinite amount of them.

すべての回転列に2つずつあるので、可算無限個存在します。

Now, with every point on the sphere given just one name

さて、球面上のすべての点にただ一つの名前と、

and just one of six colors, we are ready to take the entire sphere apart.

6色のうちの一色が与えられたので、球全体を分解する準備が整いました。

Every point on the surface corresponds to a unique line of points below it

表面上の各点には、その下に伸びる一本の点の列が対応していて、

all the way to the center point.

それは中心点までつながっています。

And we will be dragging every point's line along with it,

そして、各点を動かすときは、その線ごと一緒に動かし、

the lone center point we will set aside.

中心点だけは別扱いにしておきます。

Okay, first we cut out and extract all the yellow poles,

まず、黄色の極をすべて切り出して取り出し、

the green starting points, the orange up points,

緑の出発点、オレンジの上点、

the blue down points, and the red and purple left and right points.

青の下点、そして赤と紫の右点・左点を取り出します。

That's the entire sphere.

これで球全体になります。

With just these pieces, you could build the whole thing.

これらの断片だけで、全体を組み立てられるわけです。

But take a look at the left piece.

でも、左の断片に注目してください。

It is defined by being a piece composed of every point

これは、左回転で終わる回転列で到達する

accessed via a sequence ending with a left rotation.

すべての点からなる断片として定義されます。

If we rotate this piece right, that's the same as adding an R to every point's name.

この断片を右に回転させるのは、すべての点の名前にRを加えるのと同じです。

But left and then right is a backtrack.

でも左のあとに右は後戻りです。

They cancel each other out.

互いに打ち消し合います。

And look what happens when we reduce them away.

それを消していくと、何が起きるか見てみましょう。

The set becomes the same as a set of all points

この集合は、

with names that end with L,

Lで終わる名前を持つすべての点、

but also U, D, and every point reached with no rotation.

さらにU、D、そして回転なしで到達する点も含む集合と同じになります。

That's the full set of starting points.

それが出発点の全集合です。

We have turned less than a quarter of the sphere into nearly three quarters.

球の4分の1未満を、ほぼ4分の3に変えてしまったわけです。

Just by rotating it, we added nothing.

何も足していないのに、ただ回転させただけで。

It's like the hyperwebster.

まさにハイパーウェブスターのようです。

If we add the right piece and the poles of rotation in the center point,

右の断片と、中心点にある回転の極を加えれば、

well, we've got the entire sphere again, but with stuff left over.

球全体が再びできますが、余りが出てしまいます。

To make a second copy, let's rotate the up piece down.

2つ目のコピーを作るために、上の断片を下に回転させましょう。

The down ups cancel because, well, it's the same as going nowhere,

下上は打ち消し合います。それはどこにも行かないのと同じだからです。

and we're left with a set of all starting points,

そして残るのは、出発点の全集合、

the entire up piece, the right piece, and the left piece.

上の断片全体、右の断片、左の断片です。

But there's a problem here.

でも、ここに問題があります。

We don't need this extra set of starting points.

この余分な出発点の集合は必要ありません。

We still haven't used the original ones.

元々の出発点は、まだ使っていないのです。

No worries. Let's just start over.

心配いりません。もう一度やり直しましょう。

We can just move everything from the up piece

上の断片から、すべてをそのまま移動させればいいのです。

that turns into a starting point when rotated down.

回転して下向きになると、それが開始点になります。

That means every point whose final rotation is up.

つまり、最終的に上向きになる点すべてです。

Let's put them in the down piece.

それらを「下」のピースに入れましょう。

Of course, after rotating, points named U, U

もちろん、回転後は「U, U」という名前の点は

will just turn into points named U,

単に「U」という名前の点になります。

and that would give us a copy here and here.

そうするとここと、ここにコピーができます。

So, as it turns out, we need to move all points with any name

つまり、どんな名前であれ

that is just a string of Us.

Uだけが並んだ点は全て移動させる必要があります。

We will put them in the down piece and rotate the up piece down,

それらを「下」のピースに入れ、「上」のピースを下に回転させます。

which makes it congruent to the up, right, and left pieces,

これで「上」「右」「左」のピースと合同になり、

add in the down piece along with some up and the starting point piece,

「下」のピースと一部の「上」、そして開始点のピースを加えると、

and, well, we're almost done.

もうほぼ完成です。

The poles of rotation and center are missing from this copy,

このコピーには回転軸の極と中心が欠けていますが、

but no worries.

心配いりません。

There's a countably infinite number of holes

回転軸の極があった場所には

where the poles of rotation used to be,

可算無限個の穴が空いています。

which means there is some pole around which we can rotate this sphere

つまり、この球を回転させても

such that every pole hole orbits around without hitting another.

どの極の穴も他とぶつからずに軌道を描けるような極が存在します。

Well, this is just a bunch of circles with one point missing.

これは要するに、1点だけ欠けた円の集まりです。

We fill them, each like we did earlier,

先ほどと同じように、それぞれを埋めていき、

and we do the same for the center point.

中心点についても同じことをします。

Imagine a circle that contains it inside the sphere

球の内部にその点を含む円を想像し、

and just fill in from infinity.

無限遠から順に埋めていくだけです。

And look what we've done.

そして、私たちがやったことを見てください。

We have taken one sphere

1つの球を取り出して、

and turned it into two identical spheres

全く同じ球を2つに変えました。

without adding anything.

何も付け加えることなく、です。

One plus one equals one.

1足す1は1になるのです。

That took a while to go through,

ここまで説明するのに時間がかかりましたが、

but the implications are huge,

その意味するところは非常に大きく、

and mathematicians, scientists, and philosophers are still debating them.

数学者や科学者、哲学者たちが今なお議論を続けています。

Could such a process happen in the real world?

こんな過程が現実世界で起こり得るのでしょうか。

I mean, it can happen mathematically,

数学的には起こり得ますし、

and math allows us to abstractly predict and describe

数学は抽象的な形で

a lot of things in the real world with amazing accuracy.

現実世界の多くのことを驚くほど正確に予測・記述できます。

But does the Banach-Tarski paradox take it too far?

でもバナッハ=タルスキの逆理は行き過ぎなのでしょうか。

Is it a place where math and physics separate?

そこは数学と物理学が分かれる場所なのでしょうか。

We still don't know.

まだわかっていません。

History is full of examples of mathematical concepts

歴史には、抽象的に開発された数学の概念で

developed in the abstract

抽象的に生まれた数学の概念で

that we did not think would ever apply to the real world

現実世界に応用されるとは思われていなかった例が

for years, decades, centuries,

何年も、何十年も、何世紀もの間ありました。

until eventually science caught up

やがて科学がそれに追いつき、

and realized they were totally applicable and useful.

実はそれが完全に応用可能で有用だと気づくのです。

The Banach-Tarski paradox could actually happen in our real world.

バナッハ=タルスキの逆理は現実世界で実際に起こり得るかもしれません。

The only catch, of course, is that

唯一の問題は、

the five pieces you cut your object into

物体を分割した5つのピースが

aren't simple shapes.

単純な形ではないということです。

They must be infinitely complex and detailed.

それらは無限に複雑で緻密でなければなりません。

That's not possible to do in the real world,

それは現実世界では不可能です。

where measurements can only get so small

測定にはどうしても限界があり、

and there's only a finite amount of time to do anything.

何をするにも使える時間は有限だからです。

But math says it's theoretically valid,

しかし数学的には理論上成立し、

and some scientists think it may be physically valid too.

物理的にも成立し得ると考える科学者もいます。

There have been a number of papers published

実際、多くの論文が発表されており、

suggesting a link between Banach-Tarski

バナッハ=タルスキと

and the way tiny, tiny subatomic particles

極小の素粒子が高エネルギーで衝突した際に

can collide at high energies

極小の素粒子が高エネルギーで衝突する現象との

and turn into more particles than we began with.

元より多くの粒子に変わる現象との関連を示唆しています。

We are finite creatures.

私たちは有限な存在です。

Our lives are small

私たちの人生は小さく、

and can only scientifically consider a small part of reality.

科学的に考察できる現実はほんの一部だけです。

What's common for us is just a sliver of what's available.

私たちにとっての「常識」は、存在するもののほんの断片にすぎません。

We can only see so much of the electromagnetic spectrum.

電磁スペクトルの中で見える範囲は限られています。

We can only delve so deep into extensions of space.

空間の広がりをどこまでも深く探れるわけではありません。

Common sense applies to that which we can access.

常識が通用するのは、私たちが到達できる範囲だけです。

But common sense is just that, common.

しかし常識とは、あくまで「よくあること」にすぎません。

If total sense is what we want,

もし完全な理解を求めるなら、

we should be prepared to accept

私たちは受け入れる覚悟をすべきです。

that we shouldn't call infinity weird or strange.

無限を「奇妙」や「変」と呼ぶべきではない、ということを。

The results we've arrived at by accepting it are valid.

それを受け入れた上で導かれた結果は妥当なのです。

True, within the system we use to understand,

確かに、私たちが宇宙を理解し、

measure, predict, and order the universe,

測定し、予測し、秩序づけるために使う体系の中では、

perhaps the system still needs perfecting.

その体系にはまだ改良の余地があるのかもしれません。

But at the end of the day,

しかし結局のところ、

history continues to show us that the universe isn't strange.

歴史が示し続けているのは、宇宙が奇妙なのではないということです。

We are.

奇妙なのは私たちの方なのです。

And as always, thanks for watching.

いつものように、ご視聴ありがとうございました。

Finally, as always, the description is full of links to learn more.

最後に、いつも通り概要欄にはさらに学べるリンクをたくさん載せています。

There are also a number of books linked down there

下にはたくさんの本のリンクも載せていて、

that really helped me wrap my mind, kind of, around Banach-Tarski.

バナッハ=タルスキを理解する上で本当に役立った本たちです。

First of all, Leonard Wapner's The P and the Sun.

まずはレナード・ワプナーの『The Pea and the Sun』。

This book is fantastic and it's full of a lot of the preliminaries

この本は素晴らしくて、後で必要になる証明を理解するための

needed to understand the proof that comes later.

予備知識がたくさん詰まっています。

He also talks a lot about the ramifications

また、バナッハ=タルスキとその定理が数学に対して

of what Banach-Tarski and their theorem might mean for mathematics.

どんな意味を持ちうるかについても多く語られています。

Also, if you want to talk about math

また、数学が発見されたものか発明されたものか、

and whether it's discovered or invented,

というテーマについて知りたいなら、

whether it really truly will map onto the universe,

それが本当に宇宙と対応するのかについても、

Yanofsky's The Outer Limits of Reason is great.

ヤノフスキーの『The Outer Limits of Reason』が最高です。

This is the favorite book of mine that I've read this entire year.

今年読んだ中で一番のお気に入りの本です。

Another good one is E. Brian Davies' Why Beliefs Matter.

もう一冊のおすすめはE・ブライアン・デイヴィスの『Why Beliefs Matter』。

This is actually Corin's favorite book,

実はこれ、コリンのお気に入りの本で、

as you might be able to see there.

そこに見えているかもしれません。

It's delicious and full of lots of great information

内容は濃厚で、私たちが知りうることの限界や

about the limits of what we can know

私たちに知りうることの限界について

and what science is and what mathematics is.

科学とは何か、数学とは何かについての優れた情報が詰まっています。

If you love infinity and math,

無限や数学が好きなら、

I cannot more highly recommend Matt Parker's

マット・パーカーの本を強くおすすめします。

Things to Make and Do in the Fourth Dimension.

『Things to Make and Do in the Fourth Dimension』です。

He is hilarious and this book is very, very great

彼はとても面白い人で、この本はいくつかの

at explaining some pretty awesome things,

すごいことをとても上手に説明していますから、

so keep reading.

ぜひ読み続けてみてください。

And if you're looking for something to watch,

何か見るものを探しているなら、

I hope you've already watched Kevin Lieber's film on Field Day.

Field DayにあるケビンLieberの映像をもう見ていることを願っています。

I already did a documentary about Whittier, Alaska over there.

私はすでにあそこでアラスカのウィッティアについてのドキュメンタリーを作りました。

Kevin's got a great short film about putting things out on the internet

ケビンはインターネットに何かを公開して

and having people react to them.

人々の反応を得ることについての素晴らしい短編を作っています。

There's a rumor that Jake Roper might be doing something on Field Day soon,

ジェイク・ローパーが近々Field Dayで何かをやるという噂もあるので、

so check out mine, check out Kevin's,

私のもケビンのもチェックして、

and subscribe to Field Day for upcoming Jake Roper action, yeah?

今後のジェイク・ローパーの動きに備えてField Dayをチャンネル登録しておいてくださいね。

He's actually in this room right now. Say hi, Jake.

実は彼、今この部屋にいるんです。ジェイク、挨拶して。

Hi.

どうも。

Thanks for filming this, by the way.

ちなみに、これを撮ってくれてありがとう。

You're welcome.

どういたしまして。

Guys, I really appreciate who you all are.

みんな、本当にありがとう。感謝しています。

And as always, thanks for watching.

いつものように、ご視聴ありがとうございました。