When we're dealing with basic arithmetic,

基本的な算数を扱うとき

we see the concrete numbers there.

そこには具体的な数字があります

We'll see 23 plus 5.

23足す5のような式です

We know what these numbers are right over here.

これらの数字が何かは分かっています

And we can calculate them.

そして計算することができます

It's going to be 28.

答えは28です

We can say 2 times 7.

2かける7という式もあります

We could say 3 divided by 4.

3割る4という式もあります

In all of these cases, we know exactly what numbers

こうした場合はどれも、扱っている数字が

we're dealing with.

何なのか正確に分かっています

As we start entering into the algebraic world,

代数の世界に入っていくと

and you probably have seen this a little bit already,

すでに少し見たことがあると思いますが

we start dealing with the ideas of variables.

変数という考え方を扱い始めます

And variables, there's a bunch of ways you can think about them.

変数の捉え方はいろいろあります

But they're really just values and expressions

でも実際は、式の中にある値であって

where they can change.

変化しうるものです

The values in those expressions can change.

式の中の値は変わることができます

So for example, if I write x plus 5.

例えば、xプラス5と書いたとします

This is an expression right over here.

これは1つの式です

This can take on some value depending

この式は、ある値を取りますが

on what the value of x is.

それはxの値次第です

If x is equal to 1, then x plus 5, our expression right

xが1なら、xプラス5、つまりこの式は

over here, is going to be equal to 1.

1に等しくなります

Because now x is 1.

なぜなら今、xは1だからです

It'll be 1 plus 5.

それは1足す5になります

So x plus 5 will be equal to 6.

だからxプラス5は6に等しくなります

If x is equal to negative 7, then x plus 5

xがマイナス7なら、xプラス5は

is going to be equal to?

何に等しくなるでしょうか

Well, now x is negative 7.

さて、今xはマイナス7です

Negative 7 is going to be negative 7

マイナス7は

plus 5, which is negative 2.

プラス5で、マイナス2になります

So notice, x here is a variable,

ここでxが変数であることに注目してください

and its value can change depending on the context.

その値は文脈によって変わります

And this is in the context of an expression.

これは式という文脈での話です

You'll also see it in the context of an equation.

方程式という文脈でも同じことが見られます

It's actually important to realize

実は理解しておくことが大切です

the distinction between an expression and an equation.

式と方程式の違いを

An expression is really just a statement of value.

式とは単に値を表したものです

A statement of some type of quantity.

何らかの量を表す表現です

So this is an expression.

つまりこれは式です

An expression would be something like what we saw over here.

式とは、さっき見たようなものです

x plus 5.

xプラス5です

The value of this expression will

この式の値は

change depending on what the value of this variable is.

この変数の値によって変わります

And you could just evaluate it for different values of x.

xのさまざまな値について計算することができます

Another expression could be something like y plus z.

別の式として、yプラスzのようなものもあります

Now everything is a variable.

今度は全部が変数です

If y is 1 and z is 2, it's going to be 1 plus 2.

yが1でzが2なら、1足す2になります

If y is 0 and z is negative 1, it's

yが0でzがマイナス1なら

going to be 0 plus negative 1.

0足すマイナス1になります

These can all be evaluated, and they'll essentially

これらはすべて計算でき

give you a value depending on the values of each

それぞれの変数の値に応じて

of these variables that make up the expression.

式を構成する値が決まります

An equation, you're essentially setting expressions

方程式とは、基本的に式同士を

to be equal to each other.

等しいとおくものです

That's why they're called equations.

だから方程式と呼ばれるのです

You're equating two things.

2つのものを等号で結んでいます

An equation, you'll see one expression

方程式では、1つの式が

being equal to another expression.

別の式と等しくなっています

So for example, you could say something like x plus 3

例えば、xプラス3が

is equal to 1.

1に等しい、というような式です

And in this situation, where you have one equation with only

この場合、未知数が1つだけの

one unknown, you can actually figure out

方程式が1つあれば

what x needs to be in this scenario.

xが何であるべきかを求めることができます

And you might even do it in your head.

暗算でできてしまうかもしれません

What plus 3 is equal to 1?

何にプラス3で1になるでしょうか

Well, you could do that in your head if I have negative 2

マイナス2に

plus 3 is equal to 1.

プラス3すれば1になると、暗算で分かります

So in this context, an equation

つまりこの文脈では、方程式は

is starting to constrain what value this variable can

この変数が取りうる値を

take on, but it doesn't have to necessarily constrain it

制約し始めますが、必ずしも

as much.

そこまで強く制約するとは限りません

You could have something like x plus y plus z is equal to 5.

xプラスyプラスzが5に等しい、という式もありえます

Now you have this expression is

ここでは、この式が

equal to this other expression.

別の式に等しくなっています

5 is really just an expression right over here.

5もまた、ここでは1つの式です

And there are some constraints.

いくつかの制約があります

If someone tells you what y and z is,

誰かがyとzの値を教えてくれれば

then you're going to get an x.

xの値が求まります

If someone tells you what x and y is,

誰かがxとyの値を教えてくれれば

then that constrains what z is.

それによってzの値が決まります

But it depends on what the different things are.

ただし、それぞれの値によって変わります

So for example, if we said y is equal to 3 and z is equal to 2,

例えば、yが3でzが2だとすると

then what would be x in that situation?

その場合xはいくつになるでしょうか

So if y is equal to 3 and z is equal to 2,

yが3でzが2なら

then you're going to have the left-hand expression is

左辺の式は

going to be x plus 3 plus 2 is going to be x plus 5.

xプラス3プラス2、つまりxプラス5になります

This part right over here is just going to be 5.

こちらの部分は単に5になります

x plus 5 is equal to 5.

xプラス5は5に等しくなります

And so what plus 5 is equal to 5?

では、何にプラス5で5になるでしょうか

Well, now we're constraining that x would have to be equal to 0.

ここでxは0でなければならないと分かります

But the important point here, hopefully you

ここで大事なポイントとして

realize the difference between expression and equation.

式と方程式の違いに気づいてほしいということです

Equation is essentially you're equating two expressions.

方程式とは、基本的に2つの式を等しいとおくものです

The important thing to take away from here

ここで持ち帰ってほしい大事な点は

is that a variable can take on different values depending

変数はさまざまな値を取りうるということです

on the context of the problem.

問題の文脈によって

And to hit the point home, let's just

この点をしっかり理解するために

evaluate a bunch of expressions when the variables

変数の値がいろいろ変わる場合の

have different values.

式をいくつか計算してみましょう

So for example, if we had the expression x to the y power,

例えば、xのy乗という式があったとして

if x is equal to 5 and y is equal to 2,

xが5でyが2なら

then our expression here is going to evaluate 2.

この式はある値になります

Well, x is now going to be 5.

さて、xは今5になります

y is going to be 2.

yは2になります

It's going to be 5 to the second power,

5の2乗になり

or it's going to evaluate to 25.

つまり25になります

If we change the values, if we said x is equal to negative 2

値を変えて、xがマイナス2で

and y is equal to 3, then this expression

yが3だとすると、この式は

would evaluate 2.

ある値になります

That's what we're going to substitute for x now

今度はこれをxに代入します

in this context.

この文脈では

And y is now 3, negative 2 to the third power, which

yは3なので、マイナス2の3乗、つまり

is negative 2 times negative 2 times negative 2, which

マイナス2かけるマイナス2かけるマイナス2で

is negative 8.

マイナス8になります

Negative 2 times negative 2 is positive 4 times negative 2

マイナス2かけるマイナス2はプラス4、それにマイナス2をかけると

again is equal to negative 8.

やはりマイナス8に等しくなります

So you see, depending on the values of these expressions,

このように、式の値によって

we could do more complex things.

もっと複雑なこともできます

We could have an expression like the square root of x

xの平方根のような式もありえます

plus y and then minus x like that.

プラスy、それからマイナスx、というようになります。

If x is equal to 1 and y is equal to 8,

xが1、yが8だとすると、

then this expression would evaluate 2.

この式は2になります。

Well, every time we see an x, we want to put a 1 there.

xが出てくるたびに、そこに1を入れます。

So we would have a 1 there, and you

だからここに1が入り、

would have a 1 over there.

あそこにも1が入ります。

And every time you see a y, you

そしてyが出てくるたびに、

would put an 8 in its place.

そこに8を入れます。

In this context, we're setting these variables.

ここでは、これらの変数に値を代入しています。

So you'd see an 8.

だから8になります。

So under the radical sign, you would have a 1 plus 8.

ルート記号の中は1足す8になります。

So you'd have the principal root of 9, which is 3.

つまり9の正の平方根、すなわち3です。

So this whole thing would simplify.

だからこの式全体が簡単になります。

In this context, when we set these variables

ここで、これらの変数に

to be these things, this whole thing

この値を代入すると、式全体は

would simplify to be 3.

3に簡約されます。

1 plus 8 is 9.

1足す8は9です。

Principal root of that is 3.

その正の平方根は3です。

And then you'd have 3 minus 1, which is equal to 2.

そして3引く1、つまり2になります。